Agora precisamos saber duas coisas básicas: a transformada inversa de 1/s^{2} e como tratar do fator e^{-2s}.
Passo 3
Calcular \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}. Recorde: a transformada direta de t é 1/s^{2}. Vamos mostrar isso com uma integração por partes para ficar bem claro.
Definição:
\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt.
Façamos integração por partes: tome u=t e dv=e^{-st}dt. Então du=dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\,dt=\left.-\frac{t}{s}e^{-st}\right|_{0}^{\infty}+\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
O primeiro termo vale zero porque t e^{-st}\to0 quando t\to\infty (para s>0) e é zero em t=0. O segundo termo é
Agora a propriedade de deslocamento no tempo (teorema do deslocamento): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s) então
\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}(s)=e^{-a s}F(s),
onde u(t-a) é a função degrau unitário (Heaviside) com u(t-a)=0 para t<a e u(t-a)=1 para t>a. Vou mostrar a demonstração curta por mudança de variável:
Podemos entender e simplificar isso de forma mais intuitiva como uma função em partes: para 0\le t<2 tem u(t-2)=0 então f(t)=t; para t\ge2 tem u(t-2)=1 então f(t)=t-(t-2)=2. Portanto, em forma de peça: