Calcule a transformada inversa de Laplace
F(s)=\frac{(s-2) e^{-s}}{s^{2}-4 s+3}\

Passo 1

O enunciado dá a função no domínio de s:
F(s)=\frac{(s-2)e^{-s}}{s^{2}-4s+3}
e pede a transformada inversa de Laplace f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há um fator exponencial \,e^{-s}\, multiplicando uma função racional em s.
  • O denominador fatoriza: \,s^{2}-4s+3=(s-1)(s-3).
  • A parte racional (sem o fator de atraso) é \displaystyle G(s)=\frac{s-2}{(s-1)(s-3)}.
    O objetivo é encontrar f(t) explicitamente em termos de funções elementares (e, muito provavelmente, de uma função degrau devido ao e^{-s}).

Passo 2

Conceito chave (explicado devagar e com intuição): deslocamento no tempo (atraso) na transformada de Laplace.
  • Fato: Se \,G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}\{g(t-a)u(t-a)\}=e^{-a s}G(s),
onde u(t-a) é a função degrau unitário deslocada (ou Heaviside) que vale 0 para t<a e 1 para t\ge a.
  • Interpretação simples: multiplicar por e^{-a s} no domínio de s corresponde a atrasar a função no tempo: a forma da função fica igual, mas “começa” em t=a em vez de começar em t=0.
  • Consequência prática: se F(s)=e^{-a s}G(s), é suficiente achar g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} e então escrever
f(t)=g(t-a)u(t-a).
No nosso problema, a=1 porque o fator é e^{-s}=e^{-1\cdot s}. Então devemos calcular g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} com
G(s)=\frac{s-2}{(s-1)(s-3)}
e depois deslocar no tempo por 1.

Passo 3

Vamos decompor G(s) em frações parciais para inverter mais facilmente.
Queremos encontrar constantes A e B tais que
\frac{s-2}{(s-1)(s-3)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s-3}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s-3) obtemos a identidade
s-2 = A(s-3)+B(s-1).
Há duas maneiras rápidas de achar A e B; uso aqui o método “cover-up” (avaliar nos polos) porque é direto e robusto.
  • Para A: multiplica-se a expressão original por s-1 e avalia em s=1:
A=\left.\frac{s-2}{s-3}\right|_{s=1}=\frac{1-2}{1-3}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}.
  • Para B: multiplica-se a expressão original por s-3 e avalia em s=3:
B=\left.\frac{s-2}{s-1}\right|_{s=3}=\frac{3-2}{3-1}=\frac{1}{2}.
Portanto
G(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-3}.

Passo 4

Agora invertendo cada termo separadamente: lembrar a fórmula básica
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\quad\text{para }\Re(s)>a,
ou, invertendo,
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}\quad(t\ge0).
Aplicando isso a cada parcela de G(s):
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-1}\right\}=e^{t}.
  • \displaystyle \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-3}\right\}=e^{3t}.
Com os coeficientes 1/2, obtemos a função não atrasada
g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}=\frac{1}{2}e^{t}+\frac{1}{2}e^{3t}=\frac{1}{2}\bigl(e^{t}+e^{3t}\bigr),\qquad t\ge0.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do deslocamento no tempo (Passo 2): como F(s)=e^{-1\cdot s}G(s), tem-se
f(t)=g(t-1)u(t-1).
Substituindo g:
f(t)=\frac{1}{2}\bigl(e^{\,t-1}+e^{3(t-1)}\bigr)\,u(t-1).
Explicando em palavras (para te deixar seguro na prova): a função resultante é zero para t<1. A partir de t=1 ela assume a forma \tfrac{1}{2}\big(e^{t-1}+e^{3(t-1)}\big). O fator u(t-1) garante o “lag” de uma unidade de tempo imposto por e^{-s}.

Passo 6

Pequena verificação rápida (mental, sem cálculos longos): se você tomar a Laplace de f(t) obtida, usando a propriedade de deslocamento, vai recuperar exatamente e^{-s}G(s), isto é,
\mathcal{L}\{f(t)\}=e^{-s}G(s)=\frac{(s-2)e^{-s}}{(s-1)(s-3)}=F(s),
o que confirma coerência da solução.

Resposta

f(t)=\frac{1}{2}\bigl(e^{\,t-1}+e^{3(t-1)}\bigr)\,u(t-1)

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