Calcule a transformada inversa de Laplace F(s)=\frac{(s-2) e^{-s}}{s^{2}-4 s+3}\
Passo 1
O enunciado dá a função no domínio de s:
F(s)=\frac{(s-2)e^{-s}}{s^{2}-4s+3}
e pede a transformada inversa de Laplace f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Há um fator exponencial \,e^{-s}\, multiplicando uma função racional em s.
O denominador fatoriza: \,s^{2}-4s+3=(s-1)(s-3).
A parte racional (sem o fator de atraso) é \displaystyle G(s)=\frac{s-2}{(s-1)(s-3)}.
O objetivo é encontrar f(t) explicitamente em termos de funções elementares (e, muito provavelmente, de uma função degrau devido ao e^{-s}).
Passo 2
Conceito chave (explicado devagar e com intuição): deslocamento no tempo (atraso) na transformada de Laplace.
Fato: Se \,G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}\{g(t-a)u(t-a)\}=e^{-a s}G(s),
onde u(t-a) é a função degrau unitário deslocada (ou Heaviside) que vale 0 para t<a e 1 para t\ge a.
Interpretação simples: multiplicar por e^{-a s} no domínio de s corresponde a atrasar a função no tempo: a forma da função fica igual, mas “começa” em t=a em vez de começar em t=0.
Consequência prática: se F(s)=e^{-a s}G(s), é suficiente achar g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} e então escrever
f(t)=g(t-a)u(t-a).
No nosso problema, a=1 porque o fator é e^{-s}=e^{-1\cdot s}. Então devemos calcular g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} com
G(s)=\frac{s-2}{(s-1)(s-3)}
e depois deslocar no tempo por 1.
Passo 3
Vamos decompor G(s) em frações parciais para inverter mais facilmente.
Explicando em palavras (para te deixar seguro na prova): a função resultante é zero para t<1. A partir de t=1 ela assume a forma \tfrac{1}{2}\big(e^{t-1}+e^{3(t-1)}\big). O fator u(t-1) garante o “lag” de uma unidade de tempo imposto por e^{-s}.
Passo 6
Pequena verificação rápida (mental, sem cálculos longos): se você tomar a Laplace de f(t) obtida, usando a propriedade de deslocamento, vai recuperar exatamente e^{-s}G(s), isto é,