Calcule a transformada de Laplace
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a transformada de Laplace de
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
-
é a função degrau unitário deslocada (Heaviside) centrada em . Ou seja, , onde vale para e para . - Os deslocamentos presentes são
, e . - O que se pede:
, a transformada de Laplace de .
Passo 2
Lembrando a definição e uma propriedade básica que vamos usar.
Definição da transformada de Laplace de uma função
:
onde
é a variável complexa da transformada (normalmente consideramos
para convergência em casos com funções limitadas).
Propriedade da linearidade (muito útil): para constantes
e funções
,
Passo 3
Vamos obter a transformada de Laplace do degrau deslocado
(com
). Calculemos a integral diretamente.
Por definição,
A função
vale
para
e vale
para
. Então a integral reduz-se a partir de
:
Calcule essa integral (é uma integral elementar de exponencial). Usar antiderivada de
é
. Assim,
Avaliação no limite superior (para
) dá zero, então
Portanto, para
e
,
Passo 4
Aplicar linearidade e a fórmula obtida para cada termo de
.
Para o primeiro termo, com
:
Para o segundo termo, com coeficiente
e
:
Para o terceiro termo, com coeficiente
e
:
Passo 5
Somando os três resultados (pela linearidade) obtemos a transformada de
. Agrupando em um denominador comum
,
válida para
(condição de convergência dada pelas integrais exponenciais).