Calcule a transformada de Laplace
f(t)=u_{1}(t)+2 u_{3}(t)-6 u_{4}(t)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=u_{1}(t)+2\,u_{3}(t)-6\,u_{4}(t)
e pede para calcular a transformada de Laplace de f(t).
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • u_{a}(t) é a função degrau unitário deslocada (Heaviside) centrada em t=a. Ou seja, u_{a}(t)=u(t-a), onde u(t) vale 0 para t<0 e 1 para t>0.
  • Os deslocamentos presentes são a=1, a=3 e a=4.
  • O que se pede: \mathcal{L}\{f(t)\}(s), a transformada de Laplace de f(t).

Passo 2

Lembrando a definição e uma propriedade básica que vamos usar.
Definição da transformada de Laplace de uma função g(t):
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada (normalmente consideramos \Re(s)>0 para convergência em casos com funções limitadas).
Propriedade da linearidade (muito útil): para constantes a,b e funções g,h,
\mathcal{L}\{a\,g(t)+b\,h(t)\}(s)=a\,\mathcal{L}\{g(t)\}(s)+b\,\mathcal{L}\{h(t)\}(s).

Passo 3

Vamos obter a transformada de Laplace do degrau deslocado \,u(t-a)=u_a(t)\, (com a\ge0). Calculemos a integral diretamente.
Por definição,
\mathcal{L}\{u(t-a)\}(s)=\int_{0}^{\infty} u(t-a)\,e^{-s t}\,dt.
A função u(t-a) vale 0 para t<a e vale 1 para t>a. Então a integral reduz-se a partir de t=a:
\mathcal{L}\{u(t-a)\}(s)=\int_{a}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
Calcule essa integral (é uma integral elementar de exponencial). Usar antiderivada de e^{-st} é -\tfrac{1}{s}e^{-st}. Assim,
\mathcal{L}\{u(t-a)\}(s)=\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{t=a}^{t=\infty}.
Avaliação no limite superior (para \Re(s)>0) dá zero, então
\mathcal{L}\{u(t-a)\}(s)=0 -\left(-\frac{1}{s}e^{-s a}\right)=\frac{e^{-a s}}{s}.
Portanto, para a\ge0 e \Re(s)>0,
\mathcal{L}\{u_{a}(t)\}(s)=\frac{e^{-a s}}{s}.

Passo 4

Aplicar linearidade e a fórmula obtida para cada termo de f(t).
Para o primeiro termo, com a=1:
\mathcal{L}\{u_{1}(t)\}(s)=\frac{e^{-1\cdot s}}{s}=\frac{e^{-s}}{s}.
Para o segundo termo, com coeficiente 2 e a=3:
\mathcal{L}\{2\,u_{3}(t)\}(s)=2\,\mathcal{L}\{u_{3}(t)\}(s)=2\cdot\frac{e^{-3s}}{s}=\frac{2e^{-3s}}{s}.
Para o terceiro termo, com coeficiente -6 e a=4:
\mathcal{L}\{-6\,u_{4}(t)\}(s)=-6\,\mathcal{L}\{u_{4}(t)\}(s)=-6\cdot\frac{e^{-4s}}{s}=-\frac{6e^{-4s}}{s}.

Passo 5

Somando os três resultados (pela linearidade) obtemos a transformada de f(t). Agrupando em um denominador comum s,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{e^{-s}+2e^{-3s}-6e^{-4s}}{s},
válida para \Re(s)>0 (condição de convergência dada pelas integrais exponenciais).

Resposta

\displaystyle \frac{e^{-s}+2e^{-3s}-6e^{-4s}}{s}

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