Calcule a transformada inversa de Laplace
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
Informações relevantes dadas:
- A função no domínio de
é , onde . - A incógnita é a função
tal que . Ou seja, deve-se encontrar .
Passo 2
Primeiro reconhecimento útil (sem calcular ainda): o fator
indica um deslocamento no tempo na transformada de Laplace. Vou explicar isso com calma porque é essencial.
Teorema do deslocamento no tempo (regra de Heaviside): se uma função
tem transformada de Laplace
, então para
vale
onde
é a função passo de Heaviside (ou função degrau) que vale
para
e
para
.
Interpretação prática: a presença de
nos diz que a função no tempo será nula para
e, para
, será igual à função inversa de
avaliada em
. Portanto, depois de achar
, a inversa de
será
Passo 3
Agora vamos achar
com
Primeiro manipulo o denominador para ver uma forma conhecida. Faço completar o quadrado:
Logo posso reescrever
Passo 4
Reconhecimento da forma-padrão: na tabela de transformadas básicas há a identidade (vou mostrar por que é verdadeira):
Explicação rápida do porquê: pela definição
essa integral, conhecida, resulta em
. Aqui
é a variável complexa da transformada e
é a variável de tempo.
Comparando com o nosso
vemos que
e
, porque
Portanto a transformada inversa é
Passo 5
Aplicando agora o teorema do deslocamento no tempo (Passo 2): como
, a transformada inversa é a função deslocada em
:
Substituindo
:
Isso significa que
para
e, para
, vale
.
Passo 6
Pequeno reforço/checagem: reescrever a resposta de forma alternativa (a mesma coisa, só formato diferente)
Ambas as formas são equivalentes; a forma em
costuma ser mais clara para ver o deslocamento no argumento.