Calcule a transformada inversa de Laplace
F(s)=\frac{e^{-2 s}(s-1)}{s^{2}-2 s+5}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{e^{-2 s}\,(s-1)}{s^{2}-2 s+5}.
Informações relevantes dadas:
  • A função no domínio de s é F(s)=e^{-2s}\cdot G(s), onde G(s)=\dfrac{s-1}{s^{2}-2s+5}.
  • A incógnita é a função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s). Ou seja, deve-se encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t).

Passo 2

Primeiro reconhecimento útil (sem calcular ainda): o fator e^{-2s} indica um deslocamento no tempo na transformada de Laplace. Vou explicar isso com calma porque é essencial.
Teorema do deslocamento no tempo (regra de Heaviside): se uma função g(t) tem transformada de Laplace G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s), então para a>0 vale
\mathcal{L}\{u(t-a)\,g(t-a)\}(s)=e^{-a s}G(s),
onde u(t-a) é a função passo de Heaviside (ou função degrau) que vale 0 para t<a e 1 para t\ge a.
Interpretação prática: a presença de e^{-2s} nos diz que a função no tempo será nula para t<2 e, para t\ge2, será igual à função inversa de G(s) avaliada em t-2. Portanto, depois de achar g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(t), a inversa de F(s) será
f(t)=u(t-2)\,g(t-2).

Passo 3

Agora vamos achar g(t)=\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(t) com
G(s)=\frac{s-1}{s^{2}-2s+5}.
Primeiro manipulo o denominador para ver uma forma conhecida. Faço completar o quadrado:
s^{2}-2s+5=(s-1)^{2}+4.
Logo posso reescrever
G(s)=\frac{s-1}{(s-1)^{2}+2^{2}}.

Passo 4

Reconhecimento da forma-padrão: na tabela de transformadas básicas há a identidade (vou mostrar por que é verdadeira):
\mathcal{L}\{e^{a t}\cos(bt)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Explicação rápida do porquê: pela definição
\mathcal{L}\{e^{a t}\cos(bt)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}e^{a t}\cos(bt)\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}\cos(bt)\,dt,
essa integral, conhecida, resulta em \dfrac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}. Aqui s é a variável complexa da transformada e t é a variável de tempo.
Comparando com o nosso G(s) vemos que a=1 e b=2, porque
G(s)=\frac{s-1}{(s-1)^{2}+2^{2}}.
Portanto a transformada inversa é
g(t)=e^{1\cdot t}\cos(2t)=e^{t}\cos(2t),\qquad t\ge0.

Passo 5

Aplicando agora o teorema do deslocamento no tempo (Passo 2): como F(s)=e^{-2s}G(s), a transformada inversa é a função deslocada em a=2:
f(t)=u(t-2)\,g(t-2).
Substituindo g:
f(t)=u(t-2)\,e^{\,t-2}\cos\big(2(t-2)\big).
Isso significa que f(t)=0 para t<2 e, para t\ge2, vale e^{t-2}\cos(2(t-2)).

Passo 6

Pequeno reforço/checagem: reescrever a resposta de forma alternativa (a mesma coisa, só formato diferente)
f(t)=u(t-2)\,e^{t-2}\cos(2t-4).
Ambas as formas são equivalentes; a forma em \cos(2(t-2)) costuma ser mais clara para ver o deslocamento no argumento.

Resposta

f(t)=u(t-2)\,e^{t-2}\cos\big(2(t-2)\big)

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