Resolva os problemas 2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}+2 y=g(t), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad g(t)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 5 \leq t<20, \\\\ 0, & 0 \leq t<5\end{array}\right. e t \geq 20.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais e uma força externa em pulso:
2y''+y'+2y=g(t), \qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0,
onde g(t) vale 1 no intervalo 5\le t<20 e 0 fora desse intervalo (para t\ge0).
As perguntas implícitas são: encontrar a solução y(t) para todo t\ge0 (ou seja, a solução do problema de valor inicial com essa entrada em pulso).
Informações relevantes fornecidas:
Equação homogênea associada tem coeficientes constantes: 2y''+y'+2y.
Condições iniciais homogêneas: y(0)=0,\;y'(0)=0.
Forcing g(t) é um pulso unitário entre t=5 e t=20; isto é, g(t)=1 para 5\le t<20 e g(t)=0 para 0\le t<5 e também para t\ge20.
Passo 2
Vou usar Laplace para transformar a EDO em uma equação algébrica — por que isso é prático aqui: a entrada é dada por funções degrau deslocadas e as condições iniciais são zero, então a transformada trata bem dos deslocamentos temporais; além disso a transformada de derivadas é direta quando as condições iniciais são conhecidas.
Lembrete rápido das fórmulas que vou usar (tudo em Laplace):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0).
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
Se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então \mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-a s}F(s) (teorema do deslocamento).
As condições iniciais são y(0)=0,\;y'(0)=0, então as transformadas de derivadas ficarão simplesmente sY e s^2Y multiplicando.
Aplico Laplace à equação:
2(s^2Y(s)) + (sY(s)) + 2Y(s) = G(s),
portanto
\bigl(2s^2+s+2\bigr)Y(s)=G(s).
Passo 3
Escrevo g(t) usando funções degrau unitárias:
g(t)=u(t-5)-u(t-20),
pois isso representa uma função que vale 1 entre 5 e 20 e 0 fora.
Isto representa a resposta ao degrau ligado em t=5 e desligado em t=20 (subtração da resposta deslocada).
Essas expressões satisfazem as condições iniciais e representam a solução física: nula antes do pulso, segue a resposta do sistema ao degrau quando o pulso está ligado, e após t=20 a contribuição do desligamento aparece como subtração da mesma forma deslocada.