Calcule a transformada inversa de Laplace de
F(s)=ln (s-2s+2)

Passo 1

A questão pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=lns-2s+2
Vamos usar a ideia de representar essa diferença de logaritmos como a transformada de uma função do tipo
g(t)=e^-a t-e^-b tt,
pois ao aplicar a definição da transformada de Laplace sobra uma integral que gera justamente um logaritmo.

Passo 2

Pela definição,
Lg(t)(s) =integral0^inftye^-st,g(t),dt
Se escolhermos
g(t)=e^-a t-e^-b tt,
então
Ll(e^-a t-e^-b ttr)(s) =integral0^inftye^-(s+a)t-e^-(s+b)tt,dt

Passo 3

Há um resultado clássico de análise real que diz
integral0^inftye^-alpha t-e^-beta tt,dt =lnbetaalpha
Aplicando com alpha=s+a e beta=s+b, obtemos o par
Ll(e^-a t-e^-b ttr)(s) =lns+bs+a

Passo 4

Queremos exatamente
lns-2s+2 ;=;lns+(-2)s+2,
logo basta identificar b=-2 e a=2. Isso leva a
f(t)=e^-a t-e^-b tt =e^-2t-e^2tt

Resposta

f(t)=e^-2t-e^2tt

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