Use que para encontrar a transformada de Laplace

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=t^ne^a t. Vamos usar a propriedade que, se
F(s)=Lf(t),
então
Lt^nf(t)=(-1)^nF^(n)(s)

Passo 2

Identificamos a parte sem o fator t^n, isto é, g(t)=e^a t. Sabemos que
G(s)=Le^a t=1s - a,
válido para Re(s)>a.

Passo 3

Pela propriedade de derivadas da transformada, temos
Lt^ne^a t =Lt^ng(t) =(-1)^n,d^nds^nl[G(s)r] =(-1)^n,d^nds^n!l(1s - ar)

Passo 4

Calculamos a derivada de ordem n:
d^nds^nl(1s - ar) =d^nds^nl((s - a)^-1r) =(-1)^n,n!(s - a)^n+1

Passo 5

Substituindo em
Lt^ne^a t=(-1)^n,d^nds^nl(1s - ar),
obtemos
Lt^ne^a t =(-1)^n,l[(-1)^ntfracn!(s - a)^n+1r] =n!(s - a)^n+1

Resposta

Lt^ne^a t=n!(s - a)^n+1, Re(s)>a

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