(calcule a transformada inversa de Laplace):
F(s)=2(s+1)(s+2)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace de F(s)=2(s+1)(s+2)^2. Vamos usar o conteúdo de transformadas de Laplace, especialmente decomposição em frações parciais e a tabela de transformadas inversas.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais supondo
2(s+1)(s+2)^2=As+1+Bs+2+C(s+2)^2

Passo 3

Multiplicamos por (s+1)(s+2)^2 e obtemos
2=A(s+2)^2+B(s+1)(s+2)+C(s+1)
Para achar A,B,C, substituímos valores convenientes: para s=-1 vem A=2, para s=-2 vem C=-2, e para s=0 achamos B=-2.

Passo 4

Substituindo os coeficientes, a decomposição fica
2(s+1)(s+2)^2=2s+1-2s+2-2(s+2)^2

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa termo a termo pela tabela: L^-1[1/(s+a)]=e^-at e L^-1[1/(s+a)^2]=te^-at. Assim, geramos os termos
2e^-t, -2e^-2t e -2t e^-2t.

Passo 6

Combinando todos os termos, chegamos à solução no domínio do tempo.

Resposta

f(t)=2e{-t}-2e{-2t}-2t e^{-2t}

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