Resolva os PVIs usando Transformada de Laplace:
y^prime-3 y=e^2 t, y(0)=1

Passo 1

Temos o PVI y'-3y=e^2t, com condição inicial y(0)=1. O conteúdo aqui é resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem usando Transformada de Laplace. Vamos precisar usar as propriedades Ly'=sY(s)-y(0) e Le^at=1/(s-a).

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace nos dois lados da equação. Usando Y(s)=Ly(t) e y(0)=1:
Ly'-3Ly=Le^2t
que vira
sY(s)-1-3Y(s)=1s-2

Passo 3

Isolamos Y(s). Primeiro somamos 1 e reorganizamos:
(s-3)Y(s)-1=1s-2
(s-3)Y(s)=1s-2+1
Y(s)=1(s-3)(s-2)+1s-3

Passo 4

Fazemos frações parciais em 1/[(s-3)(s-2)]:
1(s-3)(s-2)=As-2+Bs-3,
onde
1=A(s-3)+B(s-2)
Definindo s=2 A=-1 e s=3 B=1. Logo
1(s-3)(s-2)=-1s-2+1s-3
Substituindo em Y(s):
Y(s)=-1s-2+2s-3

Passo 5

Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
y(t)=-e^2t+2e^3t

Resposta

y(t)=2e^3t-e^2t

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