Calcule a transformada inversa:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
Informações dadas e observações imediatas:
- A função a inverter é
. - O denominador tem raízes (pólos) em
e . - A tarefa é encontrar
, ou seja, uma função tal que .
Passo 2
Escolha do método e conceitos que vou usar (breve aulinha):
- Método: decomposição em frações parciais. É a maneira padrão quando
é uma razão de polinômios com raízes simples no denominador. - Fórmulas úteis:
e a transformada inversa é linear: - Assim, se eu escrever
como soma de termos do tipo , cada termo inverte para uma exponencial .
Passo 3
Fazer a decomposição em frações parciais. Assumo
Multiplicando ambos os lados por
obtenho a identidade em
:
Agora determino
e
de forma direta usando valores de
que anulam fatores:
- Para
: - Para
:
Passo 4
Reescrevo
com os coeficientes encontrados:
Usando linearidade da transformada inversa e a tabela básica:
Passo 5
Combino os termos para obter
:
Reconheço a definição da função hiperbólica seno:
Portanto
Observação sobre região de convergência: como a expressão envolve
, a transformada de Laplace existe para
. Logo a inversa encontrada corresponde a essa região de convergência.