Calcule a transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{7}{(s-7)(s+7)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{7}{(s-7)(s+7)}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função a inverter é F(s)=\dfrac{7}{(s-7)(s+7)}.
  • O denominador tem raízes (pólos) em s=7 e s=-7.
  • A tarefa é encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, ou seja, uma função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).

Passo 2

Escolha do método e conceitos que vou usar (breve aulinha):
  • Método: decomposição em frações parciais. É a maneira padrão quando F(s) é uma razão de polinômios com raízes simples no denominador.
  • Fórmulas úteis: \mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\qquad\text{(para \(\operatorname{Re}(s)>a\))},e a transformada inversa é linear: \mathcal{L}^{-1}\{A\,G(s)+B\,H(s)\}=A\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}+B\,\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}.
  • Assim, se eu escrever F(s) como soma de termos do tipo \dfrac{\text{constante}}{s-a}, cada termo inverte para uma exponencial e^{at}.

Passo 3

Fazer a decomposição em frações parciais. Assumo
\frac{7}{(s-7)(s+7)}=\frac{A}{s-7}+\frac{B}{s+7}.
Multiplicando ambos os lados por (s-7)(s+7) obtenho a identidade em s:
7 = A(s+7)+B(s-7).
Agora determino A e B de forma direta usando valores de s que anulam fatores:
  • Para s=7: 7 = A(7+7)+B(0) \quad\Rightarrow\quad 7 = A\cdot14 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{2}.
  • Para s=-7: 7 = A(0)+B(-7-7) \quad\Rightarrow\quad 7 = B\cdot(-14) \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{1}{2}.

Passo 4

Reescrevo F(s) com os coeficientes encontrados:
\frac{7}{(s-7)(s+7)}=\frac{1/2}{s-7}+\frac{-1/2}{s+7}.
Usando linearidade da transformada inversa e a tabela básica:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1/2}{s-7}\right\}=\frac{1}{2}e^{7t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{-1/2}{s+7}\right\}=-\frac{1}{2}e^{-7t}.

Passo 5

Combino os termos para obter f(t):
f(t)=\frac{1}{2}e^{7t}-\frac{1}{2}e^{-7t}.
Reconheço a definição da função hiperbólica seno:
\operatorname{sinh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Portanto
f(t)=\operatorname{sinh}(7t).
Observação sobre região de convergência: como a expressão envolve e^{7t}, a transformada de Laplace existe para \operatorname{Re}(s)>7. Logo a inversa encontrada corresponde a essa região de convergência.

Resposta

\operatorname{sinh}(7t)

Exercícios relacionados