Calcule a transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+5}\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se calcular a transformada inversa de Laplace de \dfrac{1}{s+5}, ou seja, encontrar uma função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{1}{s+5}.
  • A informação dada é apenas a função no domínio de s: \dfrac{1}{s+5}.
  • Vamos considerar o contexto padrão de transformada de Laplace unilateral, com t\ge 0.

Passo 2

Lembra do par básico que todo mundo decora (e que é super útil na prova): a transformada de Laplace da exponencial \,e^{at}\, é
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},
desde que a parte real de s seja maior que a (isso garante convergência). Aqui a é um número real (ou complexo) que aparece no expoente da função no tempo. Isso significa que, ao inverter, um denominador da forma \dfrac{1}{s-a} corresponde a e^{at}.

Passo 3

Aplicando a correspondência ao nosso caso: comparar \dfrac{1}{s+5} com \dfrac{1}{s-a}. Note que
\frac{1}{s+5}=\frac{1}{s-(-5)},
logo o parâmetro a é a=-5. Pela regra do passo anterior, a função no tempo associada é e^{at}=e^{-5t}.

Passo 4

Para ser rigoroso e convencer o examinador, podemos verificar por integração direta a transformada direta de e^{-5t}:
\mathcal{L}\{e^{-5t}\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{-5t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+5)t}\,dt.
Essa integral vale \dfrac{1}{s+5} sempre que \Re(s+5)>0, ou seja, \Re(s)>-5. Portanto a verificação confirma que \mathcal{L}\{e^{-5t}\}=\dfrac{1}{s+5}.

Passo 5

Comentário didático rápido para a prova: memorize o par
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}.
Na inversa, identifique a fazendo s-a igual ao denominador. Se aparecer s+5, pense em s-(-5) e pronto: a resposta é e^{-5t}. Sempre acrescente que é para t\ge 0 (ou use o degrau u(t)) e mencione a região de convergência se necessário ( \Re(s)>-5).

Resposta

e^{-5t}u(t)

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