Calcule a transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{6 s-1}{3\left(s^{2}+1\right)}\right\}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dá a função no domínio de s: F(s)=\dfrac{6s-1}{3\left(s^{2}+1\right)}.
  • Pede a transformada inversa, ou seja, encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
  • Em resumo: calcular \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{6s-1}{3\left(s^{2}+1\right)}\right\}.

Passo 2

Simplificar a expressão algébrica para deixá‑la em termos de frações que conhecemos:
\frac{6s-1}{3\left(s^{2}+1\right)} = \frac{1}{3}\left(\frac{6s}{s^{2}+1}-\frac{1}{s^{2}+1}\right).

Passo 3

Usar a linearidade da transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\{aG(s)+bH(s)\}=a\,\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}+b\,\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\},
para constantes a,b. Portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{3}\left(\frac{6s}{s^{2}+1}-\frac{1}{s^{2}+1}\right)\right\} = \frac{1}{3}\left(6\,\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+1}\right\} - \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}\right).

Passo 4

Recordar as transformadas conhecidas (mini‑aula rápida):
  • Para \cos t: considerar \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt. Usando exponencial complexa,
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt = \Re\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i)t}dt\right) = \Re\!\left(\frac{1}{s-i}\right)=\frac{s}{s^{2}+1}.
Logo \mathcal{L}\{\cos t\}=\dfrac{s}{s^{2}+1}, o que implica
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t.
  • Para \sin t: de modo análogo,
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin t\,dt = \Im\!\left(\frac{1}{s-i}\right)=\frac{1}{s^{2}+1},
logo \mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^{2}+1} e
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t.

Passo 5

Aplicar as inversas aos termos:
\frac{1}{3}\left(6\,\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+1}\right\} - \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}\right) = \frac{1}{3}\left(6\cos t - \sin t\right).

Passo 6

Fazer a conta final simples:
\frac{1}{3}\left(6\cos t - \sin t\right)=2\cos t - \frac{1}{3}\sin t.
(Verificação rápida: aplicando \mathcal{L} em 2\cos t - \tfrac{1}{3}\sin t volta a dar \dfrac{6s-1}{3(s^{2}+1)}.)

Resposta

2\cos t - \dfrac{1}{3}\sin t

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