Informações dadas: o numerador é s^{3}-2 s^{2}-2 e o denominador é s^{2}(s^{2}+1). A saída esperada é uma função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\} seja a fração racional acima.
Passo 2
Estratégia e conceitos úteis (mini-aula):
A transformada de Laplace é linear, então a transformada inversa também é linear; assim podemos decompor a função em somas de termos simples e inverter cada termo.
Para frações racionais é comum usar decomposição em frações parciais. Aqui o denominador tem fatores s^{2} (raiz s=0 com multiplicidade 2) e s^{2}+1 (quadrático irreduzível). Isso sugere a forma de frações parciais
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t.
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t.
Explicação breve: cada uma vem das definições \mathcal{L}\{1\}=1/s, \mathcal{L}\{t\}=1/s^{2}, \mathcal{L}\{\cos t\}=s/(s^{2}+1), \mathcal{L}\{\sin t\}=1/(s^{2}+1).
Passo 3
Calcular os coeficientes da decomposição. Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s^{2}+1)\) obtemos a identidade de polinômios
\[s^{3}-2 s^{2}-2 = A\,s(s^{2}+1)+B(s^{2}+1)+(Cs+D)s^{2}.
Expandindo o lado direito:
A s(s^{2}+1)=A s^{3}+A s,
B(s^{2}+1)=B s^{2}+B,
(Cs+D)s^{2}=C s^{3}+D s^{2}.
Somando:
\text{RHS}=(A+C)s^{3}+(B+D)s^{2}+A s + B.
Comparando coeficientes com o polinômio da esquerda s^{3}-2 s^{2}+0\cdot s -2, obtemos o sistema
\begin{cases} A + C = 1 &\text{(coef. de } s^{3}),\\[4pt] B + D = -2 &\text{(coef. de } s^{2}),\\[4pt] A = 0 &\text{(coef. de } s),\\[4pt] B = -2 &\text{(termo constante).} \end{cases}
Resolver o sistema passo a passo:
De A=0\] segue \(C = 1 (pois A+C=1).
De B=-2 e B+D=-2 segue D=0.
Portanto os coeficientes são A=0, B=-2, C=1, D=0.]
Passo 4
Reescrevendo a decomposição com os valores encontrados:
somando obtém-se exatamente -\dfrac{2}{s^{2}}+\dfrac{s}{s^{2}+1}, que é igual à expressão original após colocar sobre o mesmo denominador. Portanto a solução está consistente.