Calcule a transformada inversa:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s^{3}-2 s^{2}-2}{s^{2}\left(s^{2}+1\right)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s^{3}-2 s^{2}-2}{s^{2}\left(s^{2}+1\right)}\right\}.
Informações dadas: o numerador é s^{3}-2 s^{2}-2 e o denominador é s^{2}(s^{2}+1). A saída esperada é uma função f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\} seja a fração racional acima.

Passo 2

Estratégia e conceitos úteis (mini-aula):
  • A transformada de Laplace é linear, então a transformada inversa também é linear; assim podemos decompor a função em somas de termos simples e inverter cada termo.
  • Para frações racionais é comum usar decomposição em frações parciais. Aqui o denominador tem fatores s^{2} (raiz s=0 com multiplicidade 2) e s^{2}+1 (quadrático irreduzível). Isso sugere a forma de frações parciais
\frac{s^{3}-2 s^{2}-2}{s^{2}(s^{2}+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{Cs+D}{s^{2}+1},
onde A,B,C,D são constantes a determinar.
  • Lembrete das transformadas inversas padrão que vamos usar:
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1.
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=t.
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t.
    • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}+1}\right\}=\sin t.
      Explicação breve: cada uma vem das definições \mathcal{L}\{1\}=1/s, \mathcal{L}\{t\}=1/s^{2}, \mathcal{L}\{\cos t\}=s/(s^{2}+1), \mathcal{L}\{\sin t\}=1/(s^{2}+1).

Passo 3

Calcular os coeficientes da decomposição. Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s^{2}+1)\) obtemos a identidade de polinômios \[s^{3}-2 s^{2}-2 = A\,s(s^{2}+1)+B(s^{2}+1)+(Cs+D)s^{2}.
Expandindo o lado direito:
A s(s^{2}+1)=A s^{3}+A s,
B(s^{2}+1)=B s^{2}+B,
(Cs+D)s^{2}=C s^{3}+D s^{2}.
Somando:
\text{RHS}=(A+C)s^{3}+(B+D)s^{2}+A s + B.
Comparando coeficientes com o polinômio da esquerda s^{3}-2 s^{2}+0\cdot s -2, obtemos o sistema
\begin{cases} A + C = 1 &\text{(coef. de } s^{3}),\\[4pt] B + D = -2 &\text{(coef. de } s^{2}),\\[4pt] A = 0 &\text{(coef. de } s),\\[4pt] B = -2 &\text{(termo constante).} \end{cases}
Resolver o sistema passo a passo:
  • De A=0\] segue \(C = 1 (pois A+C=1).
  • De B=-2 e B+D=-2 segue D=0.
Portanto os coeficientes são A=0, B=-2, C=1, D=0.]

Passo 4

Reescrevendo a decomposição com os valores encontrados:
\frac{s^{3}-2 s^{2}-2}{s^{2}(s^{2}+1)}=\frac{0}{s}+\frac{-2}{s^{2}}+\frac{1\cdot s+0}{s^{2}+1}=-\frac{2}{s^{2}}+\frac{s}{s^{2}+1}.
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo, usando a linearidade:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{2}{s^{2}}+\frac{s}{s^{2}+1}\right\} = -2\:\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}+\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+1}\right\}.
Usando as fórmulas lembradas:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=t,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t.
Logo
f(t) = -2t + \cos t.

Passo 5

Verificação rápida (checagem mental): tomando a transformada de Laplace de f(t)=-2t+\cos t,
\mathcal{L}\{-2t\}=-2\cdot\frac{1}{s^{2}}=-\frac{2}{s^{2}},\qquad \mathcal{L}\{\cos t\}=\frac{s}{s^{2}+1},
somando obtém-se exatamente -\dfrac{2}{s^{2}}+\dfrac{s}{s^{2}+1}, que é igual à expressão original após colocar sobre o mesmo denominador. Portanto a solução está consistente.

Resposta

\cos t - 2 t

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