Calcule a transformada Z inversa de X(z)=\frac{1}{(z-1)(z+0.5)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada Z inversa de
X(z)=\frac{1}{(z-1)(z+0,5)}.
Informações dadas:
X(z)=\frac{1}{(z-1)(z+0,5)}
com polos em z=1 e z=-0,5.
Observação importante (sem a qual a resposta não é única): a transformada inversa depende da região de convergência (ROC). O enunciado não especificou a ROC, então vou mostrar as inversas mais comuns, explicando passo a passo:
  • ROC |z|>1 (sequência causal, à direita);
  • ROC |z|<0,5 (sequência anti-causal, à esquerda);
  • ROC 0,5<|z|<1 (sequência bidirecional, mista).
A técnica que usarei: decomposição em frações parciais + expansão em séries geométricas (cada expansão válida em um certo intervalo de |z|), e a identificação dos coeficientes com os termos x[n] da série \displaystyle X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}.

Passo 2

Fazemos frações parciais. Escrevemos
\frac{1}{(z-1)(z+0,5)}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z+0,5}.
Multiplicando por (z-1)(z+0,5) obtemos
1 = A(z+0,5)+B(z-1).
Para encontrar A e B é prático avaliar em z=1 e z=-0,5:
  • Em z=1: 1 = A(1+0,5)=1{,}5A \Rightarrow A=\dfrac{1}{1{,}5}=\dfrac{2}{3}.
  • Em z=-0,5: 1 = B(-0,5-1)=B(-1{,}5) \Rightarrow B=-\dfrac{1}{1{,}5}=-\dfrac{2}{3}.
Portanto
X(z)=\frac{2/3}{z-1}-\frac{2/3}{z+0,5}.

Passo 3

Lembrete fundamental sobre pares Z:
\frac{1}{1-a z^{-1}} \longleftrightarrow a^{n}u[n]\quad\text{com ROC }|z|>|a|
onde u[n] é a função degrau (igual a 1 para n\ge0 e 0 para n<0). Além disso,
\frac{1}{z-a}=\frac{z^{-1}}{1-a z^{-1}}
pois \dfrac{1}{z-a}=\dfrac{1}{z}\cdot\dfrac{1}{1-a z^{-1}}=z^{-1}\dfrac{1}{1-a z^{-1}}. Isso mostra que expandir \dfrac{1}{z-a} em potências de z^{-1} gera termos z^{-n} com n\ge1, ou seja contribuições para índices n\ge1.
Quando precisarmos de expansão válida para |z|<R (potências positivas de z), usamos a forma:
\frac{1}{z-a} = -\frac{1}{1 - z/a}\cdot\frac{1}{a}
ou outras manipulações que geram séries em potências de z (estas séries correspondem a índices negativos: n\le0).
Com isso, para cada termo de fração parcial decidimos se o expandimos em potências de z^{-1} (gera sequência à direita) ou em potências de z (gera sequência à esquerda), de acordo com a ROC desejada.

Passo 4

Queremos expansão em potências de z^{-1} (série para n\ge0). Usamos
\frac{1}{z-a}=z^{-1}\frac{1}{1-a z^{-1}}=z^{-1}\sum_{k=0}^{\infty} a^{k} z^{-k}=\sum_{k=0}^{\infty} a^{k} z^{-(k+1)}.
Aplicando aos termos (lembre que os fatores 2/3 e -2/3 estão na frente):
  1. Para \dfrac{2/3}{z-1}:
\frac{2/3}{z-1} = \frac{2}{3} z^{-1}\frac{1}{1-1\cdot z^{-1}} = \frac{2}{3} z^{-1}\sum_{k=0}^{\infty} z^{-k} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3}\, z^{-n}.
Isto gera contribuição para x[n] igual a \dfrac{2}{3} para n\ge1 (e 0 para n\le0).
  1. Para -\dfrac{2/3}{z+0,5}:
-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{z+0,5} = -\frac{2}{3} z^{-1}\frac{1}{1-(-0,5) z^{-1}} = -\frac{2}{3} z^{-1}\sum_{k=0}^{\infty}(-0,5)^{k} z^{-k} = \sum_{n=1}^{\infty} -\frac{2}{3}(-0,5)^{\,n-1} z^{-n}.
Isto gera contribuição x[n]=- \dfrac{2}{3}(-0,5)^{\,n-1} para n\ge1.
Somando as duas contribuições (válido quando ambas séries convergem simultaneamente, ou seja quando |z|>1 — porque o termo com a=1 exige |z|>1), obtemos, para n\ge1:
x[n]=\frac{2}{3} - \frac{2}{3}(-0,5)^{\,n-1} = \frac{2}{3}\Big(1-(-0,5)^{\,n-1}\Big),
e para n\le0:
x[n]=0.
Em notação com degrau deslocado:
x[n]=\frac{2}{3}\Big(1-(-0,5)^{\,n-1}\Big)u[n-1]\qquad\text{(ROC: }|z|>1\text{).}

Passo 5

Agora expandimos em potências de z (válidas para |z|<0,5), que correspondem a índices n\le0.
Usando a decomposição X(z)=\dfrac{2/3}{z-1}-\dfrac{2/3}{z+0,5}, para |z|<0,5 temos:
  1. \dfrac{2/3}{z-1} = -\dfrac{2}{3}\cdot\frac{1}{1-z} = -\dfrac{2}{3}\sum_{k=0}^{\infty} z^{k}.
    Isto dá coeficiente para z^{k} igual a -\dfrac{2}{3}, que corresponde a x[-k]=-\dfrac{2}{3} ou, trocando k=-n, para n\le0:
\text{contribuição 1: } x[n] = -\frac{2}{3}\quad (n\le0).çã
  1. -\dfrac{2/3}{z+0,5} = -\dfrac{2}{3}\cdot 2\cdot\frac{1}{1+2z} = -\dfrac{4}{3}\sum_{k=0}^{\infty}(-2)^{k} z^{k}.
    Isto dá coeficiente para z^{k} igual a -\dfrac{4}{3}(-2)^{k}, que corresponde a x[-k]= -\dfrac{4}{3}(-2)^{k}. Com k=-n (ou seja n\le0) obtemos contribuição
\text{contribuição 2: } x[n] = -\frac{4}{3}(-2)^{-n}\quad (n\le0).çã
Somando as contribuições para n\le0:
x[n] = -\frac{2}{3} -\frac{4}{3}(-2)^{-n}\qquad (n\le 0),
e para n\ge1:
x[n]=0.
Em forma factorizada uma alternativa é
x[n] = -\frac{2}{3}\Big(1+2(-2)^{-n}\Big)u[-n]\qquad\text{(ROC: }|z|<0,5\text{).}

Passo 6

Aqui escolhemos expandir o termo com polo de maior módulo (polo em z=1, módulo 1) em potências de z (válidas para |z|<1) e o termo com polo em z=-0,5 em potências de z^{-1} (válidas para |z|>0,5). Assim obtemos uma sequência mista (esquerda + direita).
Do Passo 2, os termos são \dfrac{2/3}{z-1} e -\dfrac{2/3}{z+0,5}.
  • Expansão de \dfrac{2/3}{z-1} para |z|<1:
\frac{2}{3}\frac{1}{z-1} = -\frac{2}{3}\frac{1}{1-z} = -\frac{2}{3}\sum_{k=0}^{\infty} z^{k}.
Isto gera contribuição constante para n\le0:
x[n] \supset -\frac{2}{3}\quad (n\le0).
  • Expansão de -\dfrac{2/3}{z+0,5} para |z|>0,5 (usar potências de z^{-1}):
-\frac{2}{3}\frac{1}{z+0,5} = -\frac{2}{3} z^{-1}\frac{1}{1-(-0,5)z^{-1}} = \sum_{n=1}^{\infty} -\frac{2}{3}(-0,5)^{\,n-1} z^{-n}.
Isto gera contribuição para n\ge1:
x[n] \supset -\frac{2}{3}(-0,5)^{\,n-1}\quad (n\ge1).
Somando, obtemos a sequência bidirecional:
x[n]=\begin{cases} -\dfrac{2}{3}, & n\le 0,\\[6pt] -\dfrac{2}{3}(-0,5)^{\,n-1}, & n\ge 1. \end{cases}
Ou em forma com degraus:
x[n] = -\frac{2}{3}\,u[-n]\;-\;\frac{2}{3}(-0,5)^{\,n-1}u[n-1]\qquad\text{(ROC: }0{,}5<|z|<1\text{).}]

Resposta

Para ROC |z|>1 (causal):
x[n]=\frac{2}{3}\Big(1-(-0,5)^{\,n-1}\Big)u[n-1].
Para ROC |z|<0{,}5 (anti-causal):
x[n]=-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}(-2)^{-n}\quad (n\le 0),\quad x[n]=0\\ (n\ge1).
Para ROC 0{,}5<|z|<1 (bidirecional):
x[n]=\begin{cases} -\dfrac{2}{3}, & n\le 0,\\[6pt] -\dfrac{2}{3}(-0,5)^{\,n-1}, & n\ge 1. \end{cases}]

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