Calcule a transformada Z inversa de X(z)=\frac{1}{(z-1)(z+0.5)}
Passo 1
O enunciado pede a transformada Z inversa de
X(z)=\frac{1}{(z-1)(z+0,5)}.
Informações dadas:
X(z)=\frac{1}{(z-1)(z+0,5)}
com polos em z=1 e z=-0,5.
Observação importante (sem a qual a resposta não é única): a transformada inversa depende da região de convergência (ROC). O enunciado não especificou a ROC, então vou mostrar as inversas mais comuns, explicando passo a passo:
ROC |z|>1 (sequência causal, à direita);
ROC |z|<0,5 (sequência anti-causal, à esquerda);
ROC 0,5<|z|<1 (sequência bidirecional, mista).
A técnica que usarei: decomposição em frações parciais + expansão em séries geométricas (cada expansão válida em um certo intervalo de |z|), e a identificação dos coeficientes com os termos x[n] da série \displaystyle X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}.
onde u[n] é a função degrau (igual a 1 para n\ge0 e 0 para n<0). Além disso,
\frac{1}{z-a}=\frac{z^{-1}}{1-a z^{-1}}
pois \dfrac{1}{z-a}=\dfrac{1}{z}\cdot\dfrac{1}{1-a z^{-1}}=z^{-1}\dfrac{1}{1-a z^{-1}}. Isso mostra que expandir \dfrac{1}{z-a} em potências de z^{-1} gera termos z^{-n} com n\ge1, ou seja contribuições para índices n\ge1.
Quando precisarmos de expansão válida para |z|<R (potências positivas de z), usamos a forma:
ou outras manipulações que geram séries em potências de z (estas séries correspondem a índices negativos: n\le0).
Com isso, para cada termo de fração parcial decidimos se o expandimos em potências de z^{-1} (gera sequência à direita) ou em potências de z (gera sequência à esquerda), de acordo com a ROC desejada.
Passo 4
Queremos expansão em potências de z^{-1} (série para n\ge0). Usamos
Isto gera contribuição x[n]=- \dfrac{2}{3}(-0,5)^{\,n-1} para n\ge1.
Somando as duas contribuições (válido quando ambas séries convergem simultaneamente, ou seja quando |z|>1 — porque o termo com a=1 exige |z|>1), obtemos, para n\ge1:
Agora expandimos em potências de z (válidas para |z|<0,5), que correspondem a índices n\le0.
Usando a decomposição X(z)=\dfrac{2/3}{z-1}-\dfrac{2/3}{z+0,5}, para |z|<0,5 temos:
\dfrac{2/3}{z-1} = -\dfrac{2}{3}\cdot\frac{1}{1-z} = -\dfrac{2}{3}\sum_{k=0}^{\infty} z^{k}.
Isto dá coeficiente para z^{k} igual a -\dfrac{2}{3}, que corresponde a x[-k]=-\dfrac{2}{3} ou, trocando k=-n, para n\le0:
-\dfrac{2/3}{z+0,5} = -\dfrac{2}{3}\cdot 2\cdot\frac{1}{1+2z} = -\dfrac{4}{3}\sum_{k=0}^{\infty}(-2)^{k} z^{k}.
Isto dá coeficiente para z^{k} igual a -\dfrac{4}{3}(-2)^{k}, que corresponde a x[-k]= -\dfrac{4}{3}(-2)^{k}. Com k=-n (ou seja n\le0) obtemos contribuição
Aqui escolhemos expandir o termo com polo de maior módulo (polo em z=1, módulo 1) em potências de z (válidas para |z|<1) e o termo com polo em z=-0,5 em potências de z^{-1} (válidas para |z|>0,5). Assim obtemos uma sequência mista (esquerda + direita).
Do Passo 2, os termos são \dfrac{2/3}{z-1} e -\dfrac{2/3}{z+0,5}.