Considere x[n]=2^{n} u[n]-3^{n} u[-n-1]. Determine a ROC. x
Passo 1
O enunciado pede: determinar a região de convergência (ROC) da transformada Z de x[n]=2^{n} u[n]-3^{n} u[-n-1]\).\n
Informações dadas e observações imediatas:
\[x[n]=2^{n}u[n]\;-\;3^{n}u[-n-1].
o termo 2^{n}u[n]\] existe apenas para \(n\ge 0 (série à direita);
o termo -3^{n}u[-n-1] existe apenas para n\le -1 (série à esquerda).
Passo 2
Definição e ideia para ROC: a transformada Z de x[n] é
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n},
e a ROC é o conjunto de valores de z para os quais essa soma converge. Para somas envolvendo potências geométricas, usamos o critério de convergência da série geométrica: a série \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Vou aplicar isso separadamente a cada termo de x[n].
A. Para a parte direita 2^{n}u[n]: calcular a soma
Intersecção das ROCs das duas partes: para que a transformada completa
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}
converja, precisamos que ambos os somatórios (o da direita e o da esquerda) convirjam simultaneamente. Portanto a ROC de x[n] é a interseção das duas regiões obtidas:
\{z:|z|>2\}\cap\{z:|z|<3\}=\{z:2<|z|<3\}.
Explicação adicional sobre fronteiras: os valores |z|=2 e |z|=3 não podem ser incluídos porque numa delas uma das séries geométricas tem razão de módulo 1 e, em geral, não converge (por exemplo, se |z|=2 então os termos de \sum_{n=0}^{\infty}(2/z)^n não vão a zero; se |z|=3 então os termos de \sum_{k=1}^{\infty}(z/3)^k não vão a zero). Assim não incluímos as fronteiras.
Passo 4
Verificação via forma fechada (opcional, só para confirmar a localização dos polos): somando as duas transformadas parciais temos
que tem polos em z=2 e z=3. A ROC para uma função racional obtida por somas de uma sequência direita e uma esquerda é tipicamente o anel entre os polos, aqui exatamente 2<|z|<3.