Considere x[n]=2^{n} u[n]-3^{n} u[-n-1]. Determine a ROC. x

Passo 1

O enunciado pede: determinar a região de convergência (ROC) da transformada Z de x[n]=2^{n} u[n]-3^{n} u[-n-1]\).\n Informações dadas e observações imediatas: \[x[n]=2^{n}u[n]\;-\;3^{n}u[-n-1].
u[n]=\begin{cases}1,&n\ge 0,\\\ 0,&n<0,\end{cases} \qquad u[-n-1]=\begin{cases}1,&n\le -1,\\\ 0,&n\ge 0.\end{cases}
Portanto:
  • o termo 2^{n}u[n]\] existe apenas para \(n\ge 0 (série à direita);
  • o termo -3^{n}u[-n-1] existe apenas para n\le -1 (série à esquerda).

Passo 2

Definição e ideia para ROC: a transformada Z de x[n] é
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n},
e a ROC é o conjunto de valores de z para os quais essa soma converge. Para somas envolvendo potências geométricas, usamos o critério de convergência da série geométrica: a série \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Vou aplicar isso separadamente a cada termo de x[n].
A. Para a parte direita 2^{n}u[n]: calcular a soma
\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n} z^{-n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{z}\right)^{n}.
Isto é uma série geométrica com razão r=\dfrac{2}{z}. Converge se |r|<1, ou seja se
\left|\frac{2}{z}\right|<1\quad\Longleftrightarrow\quad |z|>2.
Nessa região a soma vale (fórmula da geométrica)
\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}z^{-n}=\frac{1}{1-2z^{-1}}=\frac{z}{z-2},
mas o importante para a ROC é a condição |z|>2.
B. Para a parte esquerda -3^{n}u[-n-1]: primeiro escrevemos a soma (sem o sinal negativo)
\sum_{n=-\infty}^{-1}3^{n}z^{-n}.
Faça a mudança de índice k=-n. Então k=1,2,\dots e
3^{n}z^{-n}=(3^{-k})(z^{k})=\left(\frac{z}{3}\right)^{k}.
Portanto
\sum_{n=-\infty}^{-1}3^{n}z^{-n}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{z}{3}\right)^{k},
que é uma série geométrica com razão r=\dfrac{z}{3}. Converge se |r|<1, ou seja se
\left|\frac{z}{3}\right|<1\quad\Longleftrightarrow\quad |z|<3.
Novamente, o sinal negativo em x[n] não altera a ROC dessa parte; ele só muda o numerador da transformada. Nessa região a soma vale
\sum_{n=-\infty}^{-1}3^{n}z^{-n}=\frac{z/3}{1-z/3}=\frac{z}{3-z},
portanto, com o sinal negativo em x[n],
-\sum_{n=-\infty}^{-1}3^{n}z^{-n}=-\frac{z}{3-z}=\frac{z}{z-3}.

Passo 3

Intersecção das ROCs das duas partes: para que a transformada completa
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}
converja, precisamos que ambos os somatórios (o da direita e o da esquerda) convirjam simultaneamente. Portanto a ROC de x[n] é a interseção das duas regiões obtidas:
\{z:|z|>2\}\cap\{z:|z|<3\}=\{z:2<|z|<3\}.
Explicação adicional sobre fronteiras: os valores |z|=2 e |z|=3 não podem ser incluídos porque numa delas uma das séries geométricas tem razão de módulo 1 e, em geral, não converge (por exemplo, se |z|=2 então os termos de \sum_{n=0}^{\infty}(2/z)^n não vão a zero; se |z|=3 então os termos de \sum_{k=1}^{\infty}(z/3)^k não vão a zero). Assim não incluímos as fronteiras.

Passo 4

Verificação via forma fechada (opcional, só para confirmar a localização dos polos): somando as duas transformadas parciais temos
X(z)=\frac{z}{z-2}+\frac{z}{z-3}=\frac{z(2z-5)}{(z-2)(z-3)},
que tem polos em z=2 e z=3. A ROC para uma função racional obtida por somas de uma sequência direita e uma esquerda é tipicamente o anel entre os polos, aqui exatamente 2<|z|<3.

Resposta

2<|z|<3

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