Calcule a transformada de Laplace de cada uma função
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada de Laplace de duas funções diferentes. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades das transformadas de Laplace e identificar quais fórmulas aplicar para cada função.
Passo 2
Questão 1: $ f(x) = \sin x \cos 2x $
Primeiro, vamos simplificar a função usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Aplicando essa identidade para $ A = x $ e $ B = 2x $:
Como $ \sin(-x) = -\sin x $, temos:
Agora, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo separadamente. Lembrando que:
Então:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 3
Questão 2: $ f(x) = x e^{2x} \sin(6x) $
Aqui, temos uma função que é o produto de $ x $, $ e^{2x} $ e $ \sin(6x) $. Vamos usar duas propriedades da transformada de Laplace:
- Transformada de Laplace do produto por $ x $:
Onde $ F(s) $ é a transformada de $ f(x) $.
- Transformada de Laplace de $ e^{at} \sin \omega t $:
Primeiro, calculamos a transformada de $ e^{2x} \sin(6x) $:
Agora, aplicamos a propriedade do $ x $:
Calculando a derivada:
Resposta
- Para $ f(x) = \sin x \cos 2x $:
- Para $ f(x) = x e^{2x} \sin(6x) $: