Calcule a transformada de Laplace de cada uma função
(1) f(x)=sen x cos 2 x
(2) f(x)=x e^2 x sen(6 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a transformada de Laplace de duas funções diferentes. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades das transformadas de Laplace e identificar quais fórmulas aplicar para cada função.

Passo 2

Questão 1: $ f(x) = \sin x \cos 2x $

Primeiro, vamos simplificar a função usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
f(x) = sin x cos 2x
Aplicando essa identidade para $ A = x $ e $ B = 2x $:
sin A cos B = 12 [sin(A + B) + sin(A - B)]
Como $ \sin(-x) = -\sin x $, temos:
A = x
Agora, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo separadamente. Lembrando que:
B = 2x
Então:
sin x cos 2x = 12 [sin(3x) + sin(-x)]
sin(-x) = -sin x
Substituindo de volta na expressão:
sin x cos 2x = 12 [sin 3x - sin x]

Passo 3

Questão 2: $ f(x) = x e^{2x} \sin(6x) $

Aqui, temos uma função que é o produto de $ x $, $ e^{2x} $ e $ \sin(6x) $. Vamos usar duas propriedades da transformada de Laplace:
  1. Transformada de Laplace do produto por $ x $:
f(x) = x e^2x sin(6x)
Onde $ F(s) $ é a transformada de $ f(x) $.
  1. Transformada de Laplace de $ e^{at} \sin \omega t $:
x
Primeiro, calculamos a transformada de $ e^{2x} \sin(6x) $:
e^2x
Agora, aplicamos a propriedade do $ x $:
sin(6x)
Calculando a derivada:
x

Resposta

  1. Para $ f(x) = \sin x \cos 2x $:
f(x) = sin x cos 2x
  1. Para $ f(x) = x e^{2x} \sin(6x) $:
Lsin x cos 2x = 12 ( 3s^2 + 9 - 1s^2 + 1 )

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