Calcule a transformada de Laplace inversa
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de transformada de Laplace inversa. A gente precisa encontrar a função no tempo que corresponde à transformada de Laplace dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar a decomposição em frações parciais e aplicar algumas propriedades conhecidas da transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração dada em termos mais simples. A ideia é escrever a expressão como uma soma de frações menores que são mais fáceis de inverter. A forma geral da decomposição vai ser:
Aqui, $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $ são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Vamos expandir cada termo:
- $ A (s - 2)(2 s^{2} + 3) = 2A s^{3} + 3A s - 4A s^{2} - 6A $
- $ B (2 s^{2} + 3) = 2B s^{2} + 3B $
- $ (C s + D)(s - 2)^{2} = C s^{3} - 4C s^{2} + 4C s + D s^{2} - 4D s + 4D $
Somando tudo, temos:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- $ 2A + C = 1 $ (coeficiente de $ s^{3} $)
- $ -4A + 2B - 4C + D = 1 $ (coeficiente de $ s^{2} $)
- $ 3A + 4C - 4D = -11 $ (coeficiente de $ s $)
- $ -6A + 3B + 4D = 32 $ (termo constante)
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $.
Passo 5
Da primeira equação, podemos isolar $ C $:
Substituindo $ C $ nas demais equações:
- $ -4A + 2B - 4(1 - 2A) + D = 1 $ → $ 4A + 2B + D = 5 $
- $ 3A + 4(1 - 2A) - 4D = -11 $ → $ -5A - 4D = -15 $
- $ -6A + 3B + 4D = 32 $
Agora, temos um sistema simplificado:
- $ 4A + 2B + D = 5 $
- $ -5A - 4D = -15 $
- $ -6A + 3B + 4D = 32 $
Passo 6
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
Da primeira equação:
Podemos expressar $ D $ em termos de $ A $:
Substituindo $ D $ na primeira equação:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
Da terceira equação original:
Substituindo $ D $ por $ \frac{15 - 5A}{4} $:
Agora, temos:
- $ 11A + 8B = 5 $
- $ -11A + 3B = 17 $
Somando as duas equações:
Substituindo $ B = 2 $ na primeira equação:
Agora, encontramos $ A = -1 $ e $ B = 2 $. Substituindo $ A $ em $ C = 1 - 2A $:
E substituindo $ A = -1 $ em $ D = \frac{15 - 5A}{4} $:
Passo 7
Com os valores de $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $, nossa decomposição fica:
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace inversa em cada termo separadamente.
Passo 8
Vamos inverter cada termo:
- $ \frac{-1}{s - 2} $: Sabemos que $ \mathscr{L}^{-1}\left{ \frac{1}{s - a} \right} = e^{a t} $. Então,
- $ \frac{2}{(s - 2)^{2}} $: A transformada de $ \frac{1}{(s - a)^{2}} $ é $ t e^{a t} $. Assim,
-
$ \frac{3 s + 5}{2 s^{2} + 3} $: Vamos dividir em duas partes:
-
$ \frac{3 s}{2 s^{2} + 3} $: Simplificando, temos $ \frac{3}{2} \cdot \frac{2 s}{2 s^{2} + 3} $. Sabemos que $ \mathscr{L}^{-1}\left{ \frac{s}{s^{2} + a^{2}} \right} = \cos(a t) $, com $ a = \sqrt{\frac{3}{2}} $.
-
$ \frac{5}{2 s^{2} + 3} $: Isso pode ser escrito como $ \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{s^{2} + \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}} $, e $ \mathscr{L}^{-1}\left{ \frac{1}{s^{2} + a^{2}} \right} = \frac{\sin(a t)}{a} $.
-
Portanto,
Resposta
Juntando tudo, a transformada de Laplace inversa é: