Find the volume of the solid by subtracting two volumes.
The solid enclosed by the parabolic cylinder y=x^2 and the planes z=3 y, z=2+y

Passo 1

A gente quer achar o volume do sólido limitado pelo cilindro parabólico y=x^2 e pelos planos z=3y e z=2+y. Esse é um problema de volume usando duplo integral e vamos precisar projetar o sólido no plano xy, identificar superfícies superior e inferior em z e integrar a diferença das alturas.

Passo 2

Para encontrar a projeção no plano xy, note que o cilindro dá a condição y>= x^2 e, para haver região entre as superfícies em z, precisamos de 2+y>=3y, ou seja y<=1. Como y>= x^2 e x^2>=0, concluímos que y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de -raiz y a raiz y.

Passo 3

Com isso, o volume é dado por V=integral duplaDl[(2+y)-(3y)r],dA=integral duplaD(2-2y),dx,dy, com D=(x,y):0<= y<=1,-raiz y<= x<=raiz y.

Passo 4

Integrando primeiro em x temos integral-raiz y^raiz y(2-2y),dx=2raiz y,(2-2y), reduzindo a integral para integral0^1 2raiz y,(2-2y),dy.

Passo 5

Daí a integral em y é integral0^1 2raiz y,(2-2y),dy=4integral0^1(y^1/2-y^3/2),dy=4l(tfrac23-tfrac25r).

Resposta

tfrac1615

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