Find the volume of the solid by subtracting two volumes.
The solid enclosed by the parabolic cylinder
and the planes
The solid enclosed by the parabolic cylinder
Passo 1
A gente quer achar o volume do sólido limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
. Esse é um problema de volume usando duplo integral e vamos precisar projetar o sólido no plano
, identificar superfícies superior e inferior em
e integrar a diferença das alturas.
Passo 2
Para encontrar a projeção no plano
, note que o cilindro dá a condição
e, para haver região entre as superfícies em
, precisamos de
, ou seja
. Como
e
, concluímos que
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
a
.
Passo 3
Com isso, o volume é dado por
, com
.
Passo 4
Integrando primeiro em
temos
, reduzindo a integral para
.
Passo 5
Daí a integral em
é
.