Considerando o Teorema: Seja
. Então
. Determine a transformada de Laplace utilizando o Teorema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = \frac{2(1 - \cos(k t))}{t} $ usando o Teorema que relaciona a transformada de $ f(t) $ com a de $ \frac{f(t)}{t} $. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de Transformada de Laplace e entender como aplicar integrais envolvendo essa transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual é a função $ F(s) $ que representa a Transformada de Laplace de $ f(t) $ sem a divisão por $ t $. Ou seja, queremos encontrar:
Passo 3
Vamos calcular $ F(s) $ separando a transformada linearmente:
Sabemos que:
Então, substituindo:
Passo 4
Agora, de acordo com o Teorema dado, a Transformada de Laplace de $ \frac{f(t)}{t} $ é a integral de $ F(y) $ de $ s $ até $ \infty $:
Passo 5
Vamos resolver essa integral separadamente:
Calculando os limites:
Para $ y \to \infty $:
No entanto, ao considerar a diferença dessas integrais:
Então, o limite superior da integral é 0.
Para $ y = s $:
Então, a integral total fica:
Passo 6
Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
A transformada de Laplace da função $ f(t) = \frac{2(1 - \cos(k t))}{t} $ é: