Considerando o Teorema: Seja F(s)=mathscrLf(t). Então mathscrLf(t)t=integrals^infty F(y) d y. Determine a transformada de Laplace utilizando o Teorema.
f(t)=2(1-cos (k t))t

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = \frac{2(1 - \cos(k t))}{t} $ usando o Teorema que relaciona a transformada de $ f(t) $ com a de $ \frac{f(t)}{t} $. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de Transformada de Laplace e entender como aplicar integrais envolvendo essa transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é a função $ F(s) $ que representa a Transformada de Laplace de $ f(t) $ sem a divisão por $ t $. Ou seja, queremos encontrar:
F(s)

Passo 3

Vamos calcular $ F(s) $ separando a transformada linearmente:
F(s)
Sabemos que:
F(s) = 2mathscrL1 - 2mathscrLcos(k t)
mathscrL1 = 1s
Então, substituindo:
mathscrLcos(k t) = ss^2 + k^2

Passo 4

Agora, de acordo com o Teorema dado, a Transformada de Laplace de $ \frac{f(t)}{t} $ é a integral de $ F(y) $ de $ s $ até $ \infty $:
f(t)t

Passo 5

Vamos resolver essa integral separadamente:
integrals^infty 2y , dy = 2 ln(y) g|s^infty
integrals^infty 2yy^2 + k^2 , dy = ln(y^2 + k^2) g|s^infty
Calculando os limites:
Para $ y \to \infty $:
y to infty
2 ln(y) to infty
No entanto, ao considerar a diferença dessas integrais:
ln(y^2 + k^2) to ln(y^2) = 2ln(y) to infty
Então, o limite superior da integral é 0.
Para $ y = s $:
2 ln(y) - ln(y^2 + k^2) = 2 ln(y) - 2 ln(y) = 0
Então, a integral total fica:
y = s

Passo 6

Podemos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
ln(s^2 + k^2) - 2 ln(s) = ln( s^2 + k^2s^2 ) = ln(1 + k^2s^2)

Resposta

A transformada de Laplace da função $ f(t) = \frac{2(1 - \cos(k t))}{t} $ é:
f(t) = 2(1 - cos(k t))t

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