Suponha que a população de uma colônia de 800 bactérias do tipo A que se triplica a cada 3 horas e uma segunda colônia de 2700 bactérias do tipo B que se duplica a cada 3 horas. Quanto tempo levará para que o número de bactérias dessas duas colônias seja o mesmo?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Informação 1: a colônia do tipo A tem população inicial
bactérias. - Informação 2: a colônia do tipo A “triplica a cada 3 horas” (ou seja, a cada intervalo de
horas a população é multiplicada por ). - Informação 3: a colônia do tipo B tem população inicial
bactérias. - Informação 4: a colônia do tipo B “duplica a cada 3 horas” (ou seja, a cada intervalo de
horas a população é multiplicada por ). - Pergunta: “Quanto tempo levará para que o número de bactérias dessas duas colônias seja o mesmo?”
Passo 2
Escolher uma forma de modelar o crescimento. Como o enunciado especifica fatores por intervalo de
horas (triplica / duplica a cada
horas), é natural usar um modelo discreto por períodos de
horas.
Defino a variável:
Então:
- População de A após
períodos:
porque começa com
e em cada período multiplica por
.
- População de B após
períodos:
porque começa com
e em cada período multiplica por
.
Passo 3
Queremos o instante em que as populações são iguais, isto é:
Agora resolvemos essa equação para
. Dividindo ambos os lados por
obtemos:
Simplificando a fração do lado direito:
Passo 4
Reconhecendo potências: note que
Portanto temos
e como a base
é positiva e diferente de
, concluímos que
(Se não fosse óbvio reconhecer as potências, uma alternativa sempre válida é usar logaritmos:
, que também dá
.)
Passo 5
Cada período
corresponde a
horas, então o tempo total
em horas é
Passo 6
Checagem rápida: após
horas (ou seja,
períodos),
ambas iguais a
, confirmando a resposta.