Suponha que a população de uma colônia de 800 bactérias do tipo A que se triplica a cada 3 horas e uma segunda colônia de 2700 bactérias do tipo B que se duplica a cada 3 horas. Quanto tempo levará para que o número de bactérias dessas duas colônias seja o mesmo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informação 1: a colônia do tipo A tem população inicial \,800 bactérias.
  • Informação 2: a colônia do tipo A “triplica a cada 3 horas” (ou seja, a cada intervalo de 3 horas a população é multiplicada por 3).
  • Informação 3: a colônia do tipo B tem população inicial \,2700 bactérias.
  • Informação 4: a colônia do tipo B “duplica a cada 3 horas” (ou seja, a cada intervalo de 3 horas a população é multiplicada por 2).
  • Pergunta: “Quanto tempo levará para que o número de bactérias dessas duas colônias seja o mesmo?”

Passo 2

Escolher uma forma de modelar o crescimento. Como o enunciado especifica fatores por intervalo de 3 horas (triplica / duplica a cada 3 horas), é natural usar um modelo discreto por períodos de 3 horas.
Defino a variável:
k = \text{o número de períodos de }3\text{ horas transcorridos}.úí
Então:
  • População de A após k períodos: N_A(k)=800\cdot 3^{\,k},
porque começa com 800 e em cada período multiplica por 3.
  • População de B após k períodos: N_B(k)=2700\cdot 2^{\,k},
porque começa com 2700 e em cada período multiplica por 2.

Passo 3

Queremos o instante em que as populações são iguais, isto é:
800\cdot 3^{\,k}=2700\cdot 2^{\,k}.
Agora resolvemos essa equação para k. Dividindo ambos os lados por 800\cdot 2^{\,k} obtemos:
\left(\frac{3}{2}\right)^{\!k}=\frac{2700}{800}.
Simplificando a fração do lado direito:
\frac{2700}{800}=\frac{27}{8}.

Passo 4

Reconhecendo potências: note que
\left(\frac{3}{2}\right)^{3}=\frac{3^{3}}{2^{3}}=\frac{27}{8}.
Portanto temos
\left(\frac{3}{2}\right)^{\!k}=\left(\frac{3}{2}\right)^{3},
e como a base \dfrac{3}{2} é positiva e diferente de 1, concluímos que
k=3.
(Se não fosse óbvio reconhecer as potências, uma alternativa sempre válida é usar logaritmos: \,k=\dfrac{\ln(27/8)}{\ln(3/2)}, que também dá k=3.)

Passo 5

Cada período k corresponde a 3 horas, então o tempo total t em horas é
t=3\cdot k=3\cdot 3=9\\ \text{horas}.

Passo 6

Checagem rápida: após 9 horas (ou seja, k=3 períodos),
N_A(3)=800\cdot 3^{3}=800\cdot 27=21600,
N_B(3)=2700\cdot 2^{3}=2700\cdot 8=21600,
ambas iguais a \,21600, confirmando a resposta.

Resposta

\,9\\ \text{horas}

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