Calcule a transformada de Laplace.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace juntos! A gente precisa calcular a Transformada de Laplace da função $ f(t) = t e^{-a t} \cos(k t) $. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de Transformadas de Laplace, como propriedades de funções multiplicadas por $ t $ e funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
No nosso caso, $ f(t) = t e^{-a t} \cos(k t) $. A presença de $ t $ na função sugere que vamos precisar usar uma propriedade da Transformada de Laplace que envolve a multiplicação por $ t $.
Passo 3
Existe uma propriedade que diz que a Transformada de Laplace de $ t f(t) $ é igual a $ -\frac{d}{ds} $ da Transformada de Laplace de $ f(t) $. Ou seja:
Então, primeiro precisamos encontrar $ \mathcal{L}{e^{-a t} \cos(k t)} $.
Passo 4
A Transformada de Laplace de $ e^{-a t} \cos(k t) $ é uma fórmula padrão e é dada por:
Essa fórmula vem da Transformada de Laplace de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas.
Passo 5
Agora que temos $ \mathcal{L}{e^{-a t} \cos(k t)} $, podemos usar a propriedade que mencionamos no Passo 3 para encontrar $ \mathcal{L}{t e^{-a t} \cos(k t)} $.
Vamos derivar a expressão $ \frac{s + a}{(s + a)^2 + k^2} $ em relação a $ s $:
Passo 6
Vamos calcular a derivada:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 7
Lembrando da propriedade, a Transformada de Laplace de $ t e^{-a t} \cos(k t) $ é o negativo dessa derivada:
Resposta
A Transformada de Laplace de $ f(t) = t e^{-a t} \cos(k t) $ é: