Seja f(x, y)=y^3+3 x^2 y-6 x^2-6 y^2+2.
Verifique se f é diferenciável em R^2.

Passo 1

A gente tem a função f(x,y)=y3+3x2y−6x2−6y2+2 e o objetivo é ver se ela é diferenciável em ℝ^2. Isso cai no assunto de diferenciabilidade de funções de duas variáveis, e a gente vai usar o teorema que diz que se as derivadas parciais existem e são contínuas, então f é diferenciável.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Primeiro em relação a x:
fx(x,y)=partial fpartial x(x,y)=6xy-12x
Em seguida, em relação a y:
fy(x,y)=partial fpartial y(x,y)=3y^2+3x^2-12y

Passo 3

Como f_x e f_y são polinômios em x e y, elas existem em todo lugar e são contínuas em ℝ^2. A teoria diz que isso basta para garantir a diferenciabilidade.
Portanto, pela existência e continuidade das derivadas parciais, f é diferenciável em ℝ^2.

Resposta

f é diferenciável em ℝ^2.

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