Seja
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Verifique se
é diferenciável em
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Verifique se
Passo 1
A gente tem a função f(x,y)=y3+3x2y−6x2−6y2+2 e o objetivo é ver se ela é diferenciável em ℝ^2. Isso cai no assunto de diferenciabilidade de funções de duas variáveis, e a gente vai usar o teorema que diz que se as derivadas parciais existem e são contínuas, então f é diferenciável.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de f. Primeiro em relação a x:
Em seguida, em relação a y:
Passo 3
Como f_x e f_y são polinômios em x e y, elas existem em todo lugar e são contínuas em ℝ^2. A teoria diz que isso basta para garantir a diferenciabilidade.
Portanto, pela existência e continuidade das derivadas parciais, f é diferenciável em ℝ^2.
Portanto, pela existência e continuidade das derivadas parciais, f é diferenciável em ℝ^2.
Resposta
f é diferenciável em ℝ^2.