Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
15) sumk=0^infty 2^k / 23^k

Passo 1

A questão pede para determinar a convergência da série sumk=0^infty 2^k/23^k. Esse é um problema de séries numéricas, e vamos precisar reconhecer se ela é geométrica e aplicar o critério de convergência e a fórmula da soma para séries geométricas.

Passo 2

Observe que 2^k/2=(raiz2)^k. Portanto o termo geral da série pode ser reescrito como
2^k/23^k=gl(raiz23gr)^k

Passo 3

Como essa é uma série geométrica de razão r=tfracraiz23, calculamos o valor de r. Sabendo que raiz2approx1,4142, temos
r=raiz23approx0,4714<1,
logo a série converge (pois para séries geométricas basta |r|<1).

Passo 4

Para encontrar a soma, usamos a fórmula sumk=0^infty r^k=tfrac11-r e simplificamos:
sumk=0^infty 2^k/23^k=11-raiz23

Passo 5

Simplificando ainda:
11-raiz23=33-raiz2=9+3raiz27

Resposta

A série converge (é geométrica com razão r=tfracraiz23<1) e sua soma é 33-raiz2 (que também pode ser escrita como 9+3raiz27).

Exercícios relacionados