Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
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Passo 1
A questão pede para determinar a convergência da série
. Esse é um problema de séries numéricas, e vamos precisar reconhecer se ela é geométrica e aplicar o critério de convergência e a fórmula da soma para séries geométricas.
Passo 2
Observe que
. Portanto o termo geral da série pode ser reescrito como
Passo 3
Como essa é uma série geométrica de razão
, calculamos o valor de
. Sabendo que
, temos
logo a série converge (pois para séries geométricas basta
Passo 4
Para encontrar a soma, usamos a fórmula
e simplificamos:
Passo 5
Simplificando ainda:
Resposta
A série converge (é geométrica com razão
) e sua soma é
(que também pode ser escrita como
).