Determine as derivadas parciais das funções abaixo usando a regra da cadeia:
f(x, y)=sen(2 x+5 y), sabendo que x=cos (t), y=sen(t).

Passo 1

Temos a função composta
f(x,y)=sen(2x+5y) com x=cos(t) e y=sen(t). O conteúdo é regra da cadeia para obter df/dt a partir de ∂f/∂x, ∂f/∂y, dx/dt e dy/dt.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e a y. Usamos que se f(u)=sen(u) então f’(u)=cos(u). Aqui u(x,y)=2x+5y, assim
∂f∂x=cos(2x+5y)cdot2
∂f∂y=cos(2x+5y)cdot5

Passo 3

Agora derivamos x(t)=cos(t) e y(t)=sen(t):
dxdt=-sin(t)
dydt=cos(t)

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para obter a derivada total df/dt:
dfdt=∂f∂xdxdt+∂f∂ydydt
Substituindo os resultados:
dfdt=l(2cos(2x+5y)r)(-sin t)+l(5cos(2x+5y)r)(cos t)
Colocando em evidência cos(2x+5y):
dfdt=cos(2x+5y)l(5cos t-2sin tr)

Passo 5

Por fim, retornamos x e y em função de t dentro do cosseno:
dfdt=cosl(2cos t+5sin tr)l(5cos t-2sin tr)

Resposta

dfdt=cosl(2cos t+5sin tr),(5cos t-2sin t)

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