Determine as derivadas parciais das funções abaixo usando a regra da cadeia:
, sabendo que
.
Passo 1
Temos a função composta
f(x,y)=sen(2x+5y) com x=cos(t) e y=sen(t). O conteúdo é regra da cadeia para obter df/dt a partir de ∂f/∂x, ∂f/∂y, dx/dt e dy/dt.
f(x,y)=sen(2x+5y) com x=cos(t) e y=sen(t). O conteúdo é regra da cadeia para obter df/dt a partir de ∂f/∂x, ∂f/∂y, dx/dt e dy/dt.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e a y. Usamos que se f(u)=sen(u) então f’(u)=cos(u). Aqui u(x,y)=2x+5y, assim
Passo 3
Agora derivamos x(t)=cos(t) e y(t)=sen(t):
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia para obter a derivada total df/dt:
Substituindo os resultados:
Colocando em evidência
:
Passo 5
Por fim, retornamos x e y em função de t dentro do cosseno: