Use a regra de LHôspital para demonstrar os quatro limites fundamentais do cálculo: lim x 0 sen xx=1 ; lim x 0 cos x-1x=0 ; lim x 0 a^x-1x=ln a(a>0) ; lim x infty(1+1x)^x=e.

Passo 1

Beleza, vamos resolver quatro limites fundamentais do cálculo usando a regra de L’Hôspital. Esses limites envolvem funções trigonométricas, exponenciais e uma expressão que define o número $ e $. Para isso, vamos precisar conhecer a regra de L’Hôspital, que nos ajuda a resolver limites que resultam em formas indeterminadas como e ou 00.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o limite limx 0 sin xx = 1.
Segundo a regra de L’Hôspital, se temos um limite na forma 00, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente. A derivada de sin x é cos x e a derivada de x é 1. Então:
limx 0 sin xx = limx 0 cos x1 = cos 0 = 1

Passo 3

Agora, vamos para o segundo limite: limx 0 cos x - 1x = 0.
Aplicando a regra de L’Hôspital, derivamos o numerador e o denominador. A derivada de cos x - 1 é -sin x e a derivada de x é 1. Assim:
limx 0 cos x - 1x = limx 0 -sin x1 = -sin 0 = 0

Passo 4

Terceiro limite: limx 0 a^x - 1x = ln a, onde a > 0.
Aqui, aplicamos novamente a regra de L’Hôspital. A derivada de a^x é a^x ln a e a derivada de x é 1. Então:
limx 0 a^x - 1x = limx 0 a^x ln a1 = a^0 ln a = 1 cdot ln a = ln a

Passo 5

Por último, o quarto limite: limx infty (1 + 1x)^x = e.
Para esse, vamos reescrever a expressão usando logaritmos e a regra de L’Hôspital. Tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
ln y = x cdot ln(1 + 1x)
Agora, reescrevemos como uma fração:
ln y = ln(1 + 1x)1x
Aplicando L’Hôspital, derivamos o numerador e o denominador em relação a x:
Derivada do numerador: 11 + 1x cdot (-1x^2) = -1x^2 + x
Derivada do denominador: -1x^2
Então:
limx infty -1x^2 + x-1x^2 = limx infty x^2x^2 + x = limx infty 11 + 1x = 1
Portanto, ln y = 1, o que significa que y = e.

Resposta

Usando a regra de L’Hôspital, demonstramos que:
limx 0 sin xx=1; limx 0 cos x-1x=0; limx 0 a^x-1x=ln a; limx infty(1+1x)^x=e

Exercícios relacionados