Use a regra de LHôspital para demonstrar os quatro limites fundamentais do cálculo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver quatro limites fundamentais do cálculo usando a regra de L’Hôspital. Esses limites envolvem funções trigonométricas, exponenciais e uma expressão que define o número $ e $. Para isso, vamos precisar conhecer a regra de L’Hôspital, que nos ajuda a resolver limites que resultam em formas indeterminadas como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o limite
.
Segundo a regra de L’Hôspital, se temos um limite na forma
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo limite:
.
Aplicando a regra de L’Hôspital, derivamos o numerador e o denominador. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Assim:
Passo 4
Terceiro limite:
, onde
.
Aqui, aplicamos novamente a regra de L’Hôspital. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então:
Passo 5
Por último, o quarto limite:
.
Para esse, vamos reescrever a expressão usando logaritmos e a regra de L’Hôspital. Tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, reescrevemos como uma fração:
Aplicando L’Hôspital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então:
Portanto,
, o que significa que
.
Resposta
Usando a regra de L’Hôspital, demonstramos que: