Calcule a transformada de Laplace de f(t)
f(t)=e^{-2 t} \cos 4 t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de f(t)=e^{-2 t}\cos 4t.
Informações dadas: f(t)=e^{-2 t}\cos 4t para t\ge 0.
Objetivo: encontrar \mathcal{L}\{f\}(s) (a função de s que resulta da transformada) e indicar a região de convergência.

Passo 2

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e explicar cada símbolo:
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,g(t)\,dt.
Aqui g(t) é a função no tempo, t\ge 0; s é uma variável complexa (na prática, podemos pensar em s real enquanto garantimos convergência). A integral existe quando a parte real de s faz o integrando decair o suficiente para t\to\infty.

Passo 3

Existem dois jeitos naturais de fazer essa transformada: (A) aplicar diretamente a definição e calcular a integral, ou (B) usar propriedades conhecidas da transformada (mais rápido e prático na prova). Vou usar (B) porque é simples e muito utilizado em provas: propriedade de deslocamento exponencial. Explico a propriedade a seguir.

Passo 4

Propriedade de deslocamento exponencial (primeiro teorema do deslocamento): se G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=G(s-a).
Justificativa curta: substitua e^{a t}g(t) na definição:
\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t} g(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} g(t)\,dt,
que é exatamente G(s-a).

Passo 5

Agora preciso da transformada de \cos 4t. Fórmula conhecida (vou derivar rapidamente de forma didática):
\mathcal{L}\{\cos a t\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(a t)\,dt.
Uma forma elegante de calcular é usar a parte real de e^{i a t}:
\cos(a t)=\Re(e^{i a t}),
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\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(a t)\,dt=\Re\!\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i a)t}\,dt\right).
Se \Re(s)>0, a integral geométrica converge e dá \dfrac{1}{s-i a}. Tomando a parte real:
\Re\!\left(\frac{1}{s-i a}\right)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Portanto
\mathcal{L}\{\cos a t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},\quad \text{para }\Re(s)>0.

Passo 6

Aplique a propriedade de deslocamento à nossa função. Tome g(t)=\cos 4t e a=-2 porque temos e^{-2t}\cos 4t = e^{(-2)t}\,g(t). A transformada de g(t) é, com a=4,
G(s)=\mathcal{L}\{\cos 4t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4^{2}}=\frac{s}{s^{2}+16},
válida para \Re(s)>0. Pela propriedade de deslocamento:
\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos 4t\}(s)=G(s-(-2))=G(s+2).

Passo 7

Substituindo s\mapsto s+2 em G(s) obtemos
\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos 4t\}(s)=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+16}.
Podemos expandir o denominador se preferir:
(s+2)^{2}+16=s^{2}+4s+4+16=s^{2}+4s+20,
então uma forma alternativa é
\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos 4t\}(s)=\frac{s+2}{s^{2}+4s+20}.

Passo 8

Região de convergência: ao aplicar a definição direta vemos que o integrando é e^{-(s+2)t}\cos 4t, portanto precisamos de \Re(s+2)>0, ou seja \Re(s)>-2. Para s real isso vira s>-2.

Resposta

\displaystyle \frac{s+2}{(s+2)^{2}+16}
\displaystyle \text{Região de convergência: }\Re(s)>-2ãê

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