Calcule a transformada de Laplace de
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de
.
Informações dadas: para
.
Objetivo: encontrar (a função de
que resulta da transformada) e indicar a região de convergência.
Informações dadas:
Objetivo: encontrar
Passo 2
Vou lembrar a definição da transformada de Laplace e explicar cada símbolo:
Aqui
é a função no tempo,
;
é uma variável complexa (na prática, podemos pensar em
real enquanto garantimos convergência). A integral existe quando a parte real de
faz o integrando decair o suficiente para
.
Passo 3
Existem dois jeitos naturais de fazer essa transformada: (A) aplicar diretamente a definição e calcular a integral, ou (B) usar propriedades conhecidas da transformada (mais rápido e prático na prova). Vou usar (B) porque é simples e muito utilizado em provas: propriedade de deslocamento exponencial. Explico a propriedade a seguir.
Passo 4
Propriedade de deslocamento exponencial (primeiro teorema do deslocamento): se
, então
Justificativa curta: substitua
na definição:
que é exatamente
.
Passo 5
Agora preciso da transformada de
. Fórmula conhecida (vou derivar rapidamente de forma didática):
Uma forma elegante de calcular é usar a parte real de
:
logo
Se
, a integral geométrica converge e dá
. Tomando a parte real:
Portanto
Passo 6
Aplique a propriedade de deslocamento à nossa função. Tome
e
porque temos
. A transformada de
é, com
,
válida para
. Pela propriedade de deslocamento:
Passo 7
Substituindo
em
obtemos
Podemos expandir o denominador se preferir:
então uma forma alternativa é
Passo 8
Região de convergência: ao aplicar a definição direta vemos que o integrando é
, portanto precisamos de
, ou seja
. Para
real isso vira
.