Calcule a transformada de Laplace de
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace de
.
Informações dadas: a função é . Não há outras restrições explícitas no enunciado, então assumimos o caso usual do operador de Laplace para
.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Primeiro simplificamos a função antes de aplicar a transformada. Desenvolvendo o quadrado:
Como
, obtemos
Passo 3
Agora lembro as definições e propriedades básicas que vou usar (explicando devagar):
- A transformada de Laplace de uma função
é definida por
onde
é uma variável complexa e a integral converge para valores de
num certo conjunto (região de convergência).
- Linearidade: a transformada é linear, isto é, para constantes
e funções ,
- Fórmulas úteis (que vêm direto do cálculo da integral acima):
Aqui
é uma constante (pode ser real); as condições em
garantem convergência da integral.
Passo 4
Usando linearidade e as fórmulas acima aplicadas aos termos de
:
- Para
: , que converge para . - Para
: , que converge para . - Para
: , que converge para .
Somando esses resultados (pela linearidade):
A região de convergência comum aos três termos é a interseção
(pois o termo
exige isso).
Passo 5
Vamos simplificar a expressão em uma única fração. Primeiro somo as duas primeiras frações:
Então
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Passo 6
Resumo do que fizemos e condição de validade: obtivemos a forma simplificada da transformada como uma função racional. Lembre que a região de convergência permanece
devido ao termo
presente em
.
Resposta
Região de convergência: