Calcule a transformada de Laplace de f(t)
f(t)=\left(e^{t}-e^{-t}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace de f(t)=\left(e^{t}-e^{-t}\right)^{2}.
Informações dadas: a função é f(t)=\left(e^{t}-e^{-t}\right)^{2}. Não há outras restrições explícitas no enunciado, então assumimos o caso usual do operador de Laplace para t\ge0.

Passo 2

Primeiro simplificamos a função antes de aplicar a transformada. Desenvolvendo o quadrado:
\left(e^{t}-e^{-t}\right)^{2} = e^{2t} - 2e^{t}e^{-t} + e^{-2t}.
Como e^{t}e^{-t}=e^{0}=1, obtemos
f(t)=e^{2t} - 2 + e^{-2t}.

Passo 3

Agora lembro as definições e propriedades básicas que vou usar (explicando devagar):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral converge para valores de s num certo conjunto (região de convergência).
  • Linearidade: a transformada é linear, isto é, para constantes a,b e funções f,g,
\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a\,\mathcal{L}\{f(t)\} + b\,\mathcal{L}\{g(t)\}.
  • Fórmulas úteis (que vêm direto do cálculo da integral acima):
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a},\quad\text{para } \operatorname{Re}(s)> \operatorname{Re}(a),
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\quad\text{para } \operatorname{Re}(s)>0.
Aqui a é uma constante (pode ser real); as condições em s garantem convergência da integral.

Passo 4

Usando linearidade e as fórmulas acima aplicadas aos termos de f(t)=e^{2t}-2+e^{-2t}:
  • Para e^{2t}: \displaystyle \mathcal{L}\{e^{2t}\}(s)=\frac{1}{s-2}, que converge para \operatorname{Re}(s)>2.
  • Para -2: \displaystyle \mathcal{L}\{-2\}(s)=-2\mathcal{L}\{1\}(s)=-\frac{2}{s}, que converge para \operatorname{Re}(s)>0.
  • Para e^{-2t}: \displaystyle \mathcal{L}\{e^{-2t}\}(s)=\frac{1}{s+2}, que converge para \operatorname{Re}(s)>-2.
Somando esses resultados (pela linearidade):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{1}{s-2}+\frac{1}{s+2}-\frac{2}{s}.
A região de convergência comum aos três termos é a interseção \operatorname{Re}(s)>2 (pois o termo e^{2t} exige isso).

Passo 5

Vamos simplificar a expressão em uma única fração. Primeiro somo as duas primeiras frações:
\frac{1}{s-2}+\frac{1}{s+2}=\frac{(s+2)+(s-2)}{(s-2)(s+2)}=\frac{2s}{s^{2}-4}.
Então
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{2s}{s^{2}-4}-\frac{2}{s}.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador s(s^{2}-4):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{2s\cdot s - 2(s^{2}-4)}{s(s^{2}-4)} =\frac{2s^{2}-2s^{2}+8}{s(s^{2}-4)} =\frac{8}{s(s^{2}-4)}.

Passo 6

Resumo do que fizemos e condição de validade: obtivemos a forma simplificada da transformada como uma função racional. Lembre que a região de convergência permanece \operatorname{Re}(s)>2 devido ao termo e^{2t} presente em f(t).

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{8}{s(s^{2}-4)}
Região de convergência: \operatorname{Re}(s)>2

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