Calcule a transformada de Laplace
f(t)=llt, & 0 <= t<2, (t-2)^2, & t >= 2 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a transformada de Laplace de uma função que muda de comportamento no tempo. O enunciado nos dá uma função $ f(t) $ que vale $ t $ de $ 0 $ até $ 2 $ e $ (t-2)^2 $ a partir de $ 2 $. Vamos usar conceitos da transformada de Laplace e funções de ativação (como a função degrau $ u(t) $) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ f(t) $. Ela é definida por partes:
  • Para $ 0 \leq t < 2 $, $ f(t) = t $.
  • Para $ t \geq 2 $, $ f(t) = (t-2)^2 $.
Para facilitar o cálculo da transformada de Laplace, podemos reescrever $ f(t) $ usando a função degrau unitário $ u(t) $, que é $ 0 $ para $ t < 0 $ e $ 1 $ para $ t \geq 0 $.

Passo 3

Vamos expressar $ f(t) $ como a soma de duas funções usando $ u(t) $:
f(t)
Aqui, $ t \cdot u(t) $ representa a parte da função antes de $ t = 2 $, e as outras duas partes ajustam a função a partir de $ t = 2 $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo separadamente. Lembre-se que a transformada de Laplace de $ t $ é $ \frac{1}{s^2} $ e que a transformada de $ (t - a)^n u(t - a) $ usa o teorema de deslocamento:

Passo 5

Aplicando isso, temos:
  1. Para $ t \cdot u(t) $:
t cdot u(t)
  1. Para $ -t \cdot u(t-2) $:
    Aqui, usamos o teorema de deslocamento. Além disso, como é multiplicado por $ -1 $:
Lt cdot u(t) = 1s^2
  1. Para $ (t-2)^2 \cdot u(t-2) $:
-t cdot u(t-2)

Passo 6

Agora, juntamos todas as partes:
Lf(t) = 1s^2 - 2 e^-2ss^2 + 2 e^-2ss^3
Podemos simplificar agrupando os termos com $ e^{-2s} $:
e^-2s

Resposta

A transformada de Laplace de $ f(t) $ é:
f(t)

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