Calcule a transformada de Laplace
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a transformada de Laplace de uma função que muda de comportamento no tempo. O enunciado nos dá uma função $ f(t) $ que vale $ t $ de $ 0 $ até $ 2 $ e $ (t-2)^2 $ a partir de $ 2 $. Vamos usar conceitos da transformada de Laplace e funções de ativação (como a função degrau $ u(t) $) para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(t) $. Ela é definida por partes:
- Para $ 0 \leq t < 2 $, $ f(t) = t $.
- Para $ t \geq 2 $, $ f(t) = (t-2)^2 $.
Para facilitar o cálculo da transformada de Laplace, podemos reescrever $ f(t) $ usando a função degrau unitário $ u(t) $, que é $ 0 $ para $ t < 0 $ e $ 1 $ para $ t \geq 0 $.
Passo 3
Vamos expressar $ f(t) $ como a soma de duas funções usando $ u(t) $:
Aqui, $ t \cdot u(t) $ representa a parte da função antes de $ t = 2 $, e as outras duas partes ajustam a função a partir de $ t = 2 $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo separadamente. Lembre-se que a transformada de Laplace de $ t $ é $ \frac{1}{s^2} $ e que a transformada de $ (t - a)^n u(t - a) $ usa o teorema de deslocamento:
Passo 5
Aplicando isso, temos:
- Para $ t \cdot u(t) $:
- Para $ -t \cdot u(t-2) $:
Aqui, usamos o teorema de deslocamento. Além disso, como é multiplicado por $ -1 $:
- Para $ (t-2)^2 \cdot u(t-2) $:
Passo 6
Agora, juntamos todas as partes:
Podemos simplificar agrupando os termos com $ e^{-2s} $:
Resposta
A transformada de Laplace de $ f(t) $ é: