Esboçe o gráfico no intervalo
.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico da função $ f(t) = u_{\pi}(t) - u_{2\pi}(t) $ para $ t \geq 0 $. Aqui, $ u_{\pi}(t) $ e $ u_{2\pi}(t) $ são funções degrau unitário, que basicamente “ligam” a função em certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o degrau unitário e como ele afeta a nossa função $ f(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função degrau unitário, que geralmente é representada por $ u(t - a) $. Essa função é igual a 0 quando $ t < a $ e igual a 1 quando $ t \geq a $. No nosso caso, temos $ u_{\pi}(t) = u(t - \pi) $ e $ u_{2\pi}(t) = u(t - 2\pi) $.
Passo 3
Vamos analisar cada parte da função $ f(t) $:
- Para $ t < \pi $: Ambos os degraus $ u(t - \pi) $ e $ u(t - 2\pi) $ são 0, então $ f(t) = 0 - 0 = 0 $.
- Para $ \pi \leq t < 2\pi $: $ u(t - \pi) $ vira 1, mas $ u(t - 2\pi) $ ainda é 0. Assim, $ f(t) = 1 - 0 = 1 $.
- Para $ t \geq 2\pi $: Ambos os degraus são 1, então $ f(t) = 1 - 1 = 0 $.
Passo 4
Agora que entendemos esses intervalos, podemos resumir:
- De $ t = 0 $ até $ t = \pi $, $ f(t) = 0 $.
- De $ t = \pi $ até $ t = 2\pi $, $ f(t) = 1 $.
- Para $ t \geq 2\pi $, $ f(t) = 0 $.
Passo 5
Com esses valores em mente, vamos esboçar o gráfico:
- No início, até $ \pi $, a função está no nível 0.
- No ponto $ t = \pi $, ela sobe bruscamente para 1.
- Fica constante em 1 até $ t = 2\pi $.
- No ponto $ t = 2\pi $, ela desce de volta para 0.
Resposta
O gráfico de $ f(t) = u_{\pi}(t) - u_{2\pi}(t) $ para $ t \geq 0 $ é uma função que vale 0 antes de $ t = \pi $, sobe para 1 em $ t = \pi $, fica constante em 1 até $ t = 2\pi $ e volta a 0 a partir de $ t = 2\pi $.