Esboçe o gráfico no intervalo t >= 0.
f(t)=upi(t)-u2 pi(t);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar o gráfico da função $ f(t) = u_{\pi}(t) - u_{2\pi}(t) $ para $ t \geq 0 $. Aqui, $ u_{\pi}(t) $ e $ u_{2\pi}(t) $ são funções degrau unitário, que basicamente “ligam” a função em certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o degrau unitário e como ele afeta a nossa função $ f(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função degrau unitário, que geralmente é representada por $ u(t - a) $. Essa função é igual a 0 quando $ t < a $ e igual a 1 quando $ t \geq a $. No nosso caso, temos $ u_{\pi}(t) = u(t - \pi) $ e $ u_{2\pi}(t) = u(t - 2\pi) $.

Passo 3

Vamos analisar cada parte da função $ f(t) $:
  • Para $ t < \pi $: Ambos os degraus $ u(t - \pi) $ e $ u(t - 2\pi) $ são 0, então $ f(t) = 0 - 0 = 0 $.
  • Para $ \pi \leq t < 2\pi $: $ u(t - \pi) $ vira 1, mas $ u(t - 2\pi) $ ainda é 0. Assim, $ f(t) = 1 - 0 = 1 $.
  • Para $ t \geq 2\pi $: Ambos os degraus são 1, então $ f(t) = 1 - 1 = 0 $.

Passo 4

Agora que entendemos esses intervalos, podemos resumir:
  • De $ t = 0 $ até $ t = \pi $, $ f(t) = 0 $.
  • De $ t = \pi $ até $ t = 2\pi $, $ f(t) = 1 $.
  • Para $ t \geq 2\pi $, $ f(t) = 0 $.

Passo 5

Com esses valores em mente, vamos esboçar o gráfico:
  • No início, até $ \pi $, a função está no nível 0.
  • No ponto $ t = \pi $, ela sobe bruscamente para 1.
  • Fica constante em 1 até $ t = 2\pi $.
  • No ponto $ t = 2\pi $, ela desce de volta para 0.

Resposta

O gráfico de $ f(t) = u_{\pi}(t) - u_{2\pi}(t) $ para $ t \geq 0 $ é uma função que vale 0 antes de $ t = \pi $, sobe para 1 em $ t = \pi $, fica constante em 1 até $ t = 2\pi $ e volta a 0 a partir de $ t = 2\pi $.

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