Esboçe o gráfico no intervalo t >= 0.
f(t)=sin (t)+upi(t) sin (t-pi);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função $ f(t) = \sin(t) + u_{\pi}(t) \sin(t - \pi) $ no intervalo $ t \geq 0 $. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e a função degrau $ u_{\pi}(t) $. Para resolver isso, vamos entender como cada parte da função se comporta e como elas se combinam para formar o gráfico final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função degrau $ u_{\pi}(t) $. Essa função vale 0 quando $ t < \pi $ e 1 quando $ t \geq \pi $. Ou seja, ela “liga” um valor a partir de $ t = \pi $.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função $ f(t) = \sin(t) + u_{\pi}(t) \sin(t - \pi) $ em duas partes: quando $ t < \pi $ e quando $ t \geq \pi $.
Para $ t < \pi $:
  • $ u_{\pi}(t) = 0 $, então a função fica:
f(t) = sin(t) + upi(t) sin(t - pi)
Então, nesse intervalo, $ f(t) $ é apenas a função seno normal.
Para $ t \geq \pi $:
  • $ u_{\pi}(t) = 1 $, então a função fica:
t < pi
Sabemos que $ \sin(t - \pi) = -\sin(t) $, então:
t >= pi
Portanto, para $ t \geq \pi $, $ f(t) $ é zero.

Passo 4

Agora que entendemos o comportamento da função em cada intervalo, vamos imaginar o gráfico:
  • De $ t = 0 $ até $ t = \pi $: O gráfico segue a curva do seno, começando em 0, atingindo o máximo em $ t = \frac{\pi}{2} $, e voltando a zero em $ t = \pi $.
  • A partir de $ t = \pi $: O gráfico se mantém constante em zero.

Resposta

Então, o gráfico de $ f(t) $ para $ t \geq 0 $ é igual à curva do seno de $ t $ até $ t = \pi $ e permanece em zero para todo $ t $ maior ou igual a $ \pi $.

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