Esboçe o gráfico no intervalo
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função $ f(t) = \sin(t) + u_{\pi}(t) \sin(t - \pi) $ no intervalo $ t \geq 0 $. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e a função degrau $ u_{\pi}(t) $. Para resolver isso, vamos entender como cada parte da função se comporta e como elas se combinam para formar o gráfico final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função degrau $ u_{\pi}(t) $. Essa função vale 0 quando $ t < \pi $ e 1 quando $ t \geq \pi $. Ou seja, ela “liga” um valor a partir de $ t = \pi $.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função $ f(t) = \sin(t) + u_{\pi}(t) \sin(t - \pi) $ em duas partes: quando $ t < \pi $ e quando $ t \geq \pi $.
Para $ t < \pi $:
- $ u_{\pi}(t) = 0 $, então a função fica:
Então, nesse intervalo, $ f(t) $ é apenas a função seno normal.
Para $ t \geq \pi $:
- $ u_{\pi}(t) = 1 $, então a função fica:
Sabemos que $ \sin(t - \pi) = -\sin(t) $, então:
Portanto, para $ t \geq \pi $, $ f(t) $ é zero.
Passo 4
Agora que entendemos o comportamento da função em cada intervalo, vamos imaginar o gráfico:
- De $ t = 0 $ até $ t = \pi $: O gráfico segue a curva do seno, começando em 0, atingindo o máximo em $ t = \frac{\pi}{2} $, e voltando a zero em $ t = \pi $.
- A partir de $ t = \pi $: O gráfico se mantém constante em zero.
Resposta
Então, o gráfico de $ f(t) $ para $ t \geq 0 $ é igual à curva do seno de $ t $ até $ t = \pi $ e permanece em zero para todo $ t $ maior ou igual a $ \pi $.