Calcule a transformada de Laplace
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função $ f(t) = \sin t $ que é periódica com período $ \pi $. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência, facilitando resolver equações diferenciais, por exemplo. Vamos precisar entender como calcular a transformada de uma função periódica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para funções periódicas com período $ T $, a transformada de Laplace pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
Aqui, $ s $ é a variável complexa na transformada de Laplace, e $ T $ é o período da função.
Passo 3
No nosso caso, a função $ f(t) = \sin t $ tem período $ T = \pi $, já que $ f(t + \pi) = f(t) $. Então, vamos substituir $ T $ por $ \pi $ na fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral $ \int_{0}^{\pi} e^{-st} \sin t , dt $. Para isso, usamos a integração por partes ou a fórmula padrão para integrar $ e^{-st} \sin t $. A integral resulta em:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral na expressão da transformada, temos:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Podemos escrever $ \frac{1 + e^{-s\pi}}{1 - e^{-s\pi}} $ como $ \frac{2 e^{-s\pi/2} \cosh(s\pi/2)}{2 e^{-s\pi/2} \sinh(s\pi/2)} = \coth\left(\frac{s\pi}{2}\right) $, mas para simplificar, vamos deixar na forma anterior.
Resposta
A transformada de Laplace da função $ f(t) = \sin t $ periódica com período $ \pi $ é: