Calcule a transformada de Laplace
f(t)= 0, & 0 <= t= 2 pi

Passo 1

Nesse exercício, queremos calcular a transformada de Laplace da função em partes
given by
f(t)= 0, & 0 <= t=2pi
O conteúdo aqui é transformada de Laplace e vamos usar sua definição integral e também integração por partes.

Passo 2

A transformada de Laplace é definida por
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
Como f(t)=0 fora de [pi,2pi], a integral reduz para
integralpi^2pi(t-pi)e^-st,dt

Passo 3

Para simplificar, fazemos a mudança de variável u=t-pi. Então t=u+pi, dt=du, e quando t=pi temos u=0, e quando t=2pi temos u=pi. A integral vira
integral0^piu,e^-s(u+pi),du = e^-spiintegral0^piu,e^-su,du

Passo 4

Agora precisamos calcular
I=integral0^piu,e^-su,du
Vamos usar integração por partes: escolhemos U=u e dV=e^-sudu. Então
dU=du, V=-1se^-su
Aplicando a fórmula integral U,dV=UV-integral V,dU, temos
I=l[-use^-sur]0^pi-integral0^pil(-1se^-sur),du

Passo 5

Calculando cada parte:
Ô primeiro termo:
-pise^-spi-0=-pise^-spi
O segundo termo é
1sintegral0^pie^-su,du =1sl[-1se^-sur]0^pi =1sl(-1se^-spi+1sr) =1s^2(1-e^-spi)
Portanto
I=1s^2(1-e^-spi)-pise^-spi

Passo 6

Voltando para a transformada, lembramos que havia um fator e^-spi. Assim
Lf(t)(s)=e^-spiI e^-spil(1s^2(1-e^-spi)-pise^-spir)
Distribuindo e organizando, obtemos
e^-spis^2(1-e^-spi)-pise^-2spi,
que é a forma final simplificada.

Resposta

Lf(t)(s)=e^-spis^2(1-e^-spi)-pise^-2spi

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