Calcule a transformada de Laplace
Passo 1
Nesse exercício, queremos calcular a transformada de Laplace da função em partes
given by
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O conteúdo aqui é transformada de Laplace e vamos usar sua definição integral e também integração por partes.
Passo 2
A transformada de Laplace é definida por
Como
f(t)=0 fora de
[pi,2pi] , a integral reduz para
Passo 3
Para simplificar, fazemos a mudança de variável
u=t-pi . Então
t=u+pi ,
dt=du , e quando
t=pi temos
u=0 , e quando
t=2pi temos
u=pi . A integral vira
Passo 4
Agora precisamos calcular
Vamos usar integração por partes: escolhemos
U=u e
dV=e^-sudu . Então
Aplicando a fórmula
integral U,dV=UV-integral V,dU , temos
Passo 5
Calculando cada parte:
Ô primeiro termo:
Ô primeiro termo:
O segundo termo é
Portanto
Passo 6
Voltando para a transformada, lembramos que havia um fator
e^-spi . Assim
Distribuindo e organizando, obtemos
que é a forma final simplificada.