Encontre as assíntotas horizontais das funções abaixo, caso existam.
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Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo de assíntotas horizontais, que faz parte do estudo de funções racionais. A função que vamos analisar é $ f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} $. Para encontrar as assíntotas horizontais, precisamos entender o comportamento da função quando $ x $ tende para mais ou menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma assíntota horizontal. É uma reta horizontal que a função se aproxima quando $ x $ vai para $ +\infty $ ou $ -\infty $. Para funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios, a presença de assíntotas horizontais depende do grau dos polinômios no numerador e no denominador.
Passo 3
No nosso caso, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de segundo grau (grau 2). Quando os graus do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é dada pelo coeficiente líder do numerador dividido pelo coeficiente líder do denominador.
Passo 4
Vamos identificar os coeficientes líderes:
- No numerador $ x^{2} + 1 $, o coeficiente líder é 1 (o coeficiente do $ x^{2} $).
- No denominador $ x^{2} $, o coeficiente líder também é 1.
Passo 5
Aplicando a regra mencionada, a assíntota horizontal será:
Isso significa que, conforme $ x $ vai para $ +\infty $ ou $ -\infty $, a função $ f(x) $ se aproxima de 1.
Passo 6
Vamos também verificar o comportamento limítrofe para confirmar:
E similarmente para $ x \to -\infty $:
Ambos os limites confirmam que a assíntota horizontal é $ y = 1 $.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} $ tem uma assíntota horizontal em $ y = 1 $.