Calcule a transformada de Laplace da função f dada por
f(t)=lr sen t, & 0 <= t= pi4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função f(t)=lr sin t, & 0 <= t= pi4 que é definida de forma diferente em dois intervalos:
Isso envolve o conteúdo de transformadas de Laplace, especialmente para funções definidas por partes. Para resolver, vamos usar a função de Heaviside, que ajuda a modelar essas mudanças na função.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever f(t) = sin t + [ cos (t - pi4) ] u(t - pi4) usando a função de Heaviside , que é 0 quando e 1 quando . Assim, podemos expressar como:
Aqui, a segunda parte só “entrará em ação” quando .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a transformada de Laplace é linear, ou seja, a transformada de uma soma é a soma das transformadas. Então, podemos separar F(s) = Lsin t + L cos (t - pi4) u(t - pi4) , a transformada de , em duas partes:
Vamos calcular cada uma dessas transformadas individualmente.

Passo 4

A transformada de Laplace de Lsin t = 1s^2 + 1 é bem conhecida:
Então, já temos a primeira parte da nossa solução.

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda parte: Lf(t - a) u(t - a) = e^-a s F(s) .
Primeiro, reconhecemos que temos uma função deslocada no tempo, onde . A transformada de Laplace para uma função deslocada no tempo é dada por:
onde é a transformada de .

Passo 6

Aqui, L cos (t - pi4) u(t - pi4) = e^-pi4 s cdot ss^2 + 1 , então .
Aplicando a fórmula do deslocamento, temos:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
F(s) = 1s^2 + 1 + e^-pi4 s cdot ss^2 + 1
Podemos fatorar F(s) = 1 + s e^-pi4 ss^2 + 1 para simplificar:

Resposta

A transformada de Laplace da função F(s) = 1 + s e^-pi4 ss^2 + 1 é:

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