Calcule a transformada de Laplace da função
dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace da função
que é definida de forma diferente em dois intervalos:
Isso envolve o conteúdo de transformadas de Laplace, especialmente para funções definidas por partes. Para resolver, vamos usar a função de Heaviside, que ajuda a modelar essas mudanças na função.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
usando a função de Heaviside
, que é 0 quando
e 1 quando
. Assim, podemos expressar
como:
Aqui, a segunda parte
só “entrará em ação” quando
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a transformada de Laplace é linear, ou seja, a transformada de uma soma é a soma das transformadas. Então, podemos separar
, a transformada de
, em duas partes:
Vamos calcular cada uma dessas transformadas individualmente.
Passo 4
A transformada de Laplace de
é bem conhecida:
Então, já temos a primeira parte da nossa solução.
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda parte:
.
Primeiro, reconhecemos que temos uma função deslocada no tempo,
onde
. A transformada de Laplace para uma função deslocada no tempo é dada por:
onde
é a transformada de
.
Passo 6
Aqui,
, então
.
Aplicando a fórmula do deslocamento, temos:
Passo 7
Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Podemos fatorar
para simplificar:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: