Calcule y^prime
y=ln (sen x)-52 sen^2(2 x)

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função $ y = \ln(\sin x) - \frac{5}{2} \sin^{2}(2x) $. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da função separadamente.

Passo 3

Começando com $ \ln(\sin x) $, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{u’}{u} $, onde $ u = \sin x $. A derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $. Então:
ln(sin x)

Passo 4

Agora, vamos derivar $ -\frac{5}{2} \sin^{2}(2x) $. Usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de $ \sin^{2}(u) $ é $ 2 \sin(u) \cos(u) \cdot u’ $, onde $ u = 2x $ e $ u’ = 2 $. Então:
-52 sin^2(2x)
Multiplicando pelo coeficiente $ -\frac{5}{2} $:
sin^2(u)

Passo 5

Podemos simplificar $ -10 \sin(2x) \cos(2x) $ usando a identidade trigonométrica $ \sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x) $. Assim:
-10 sin(2x) cos(2x)

Resposta

y' = cos xsin x -5 sin(4x)

Exercícios relacionados