Calcule
Passo 1
Vamos calcular a derivada da função $ y = \ln(\sin x) - \frac{5}{2} \sin^{2}(2x) $. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da função separadamente.
Passo 3
Começando com $ \ln(\sin x) $, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{u’}{u} $, onde $ u = \sin x $. A derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $. Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar $ -\frac{5}{2} \sin^{2}(2x) $. Usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de $ \sin^{2}(u) $ é $ 2 \sin(u) \cos(u) \cdot u’ $, onde $ u = 2x $ e $ u’ = 2 $. Então:
Multiplicando pelo coeficiente $ -\frac{5}{2} $:
Passo 5
Podemos simplificar $ -10 \sin(2x) \cos(2x) $ usando a identidade trigonométrica $ \sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x) $. Assim: