Calcule a transformada de Laplace da função:
f(t)=t^2+a t+b

Passo 1

Tudo bem! O enunciado pede: “Calcule a transformada de Laplace da função
f(t)=t^2+a,t+b
Aqui estamos vendo Laplace (parte de Transformadas) e vamos usar a definição de transformada de Laplace e a propriedade de linearidade. Precisamos lembrar que
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
e que dá para separar a soma de funções e fatorar constantes.

Passo 2

Antes de mais nada, lembra que a transformada de Laplace é linear, ou seja:
Lt^2 + a,t + b = Lt^2 ;+; a,Lt ;+; b,L1
Então basta achar cada pedaço separadamente.

Passo 3

Vamos calcular Lt^2 = integral0^infty t^2 e^-st ,dt. Partindo da definição:
integral0^inftyt^2 e^-stdt = l -t^2se^-str|0^infty + 2sintegral0^inftyt e^-stdt
Usamos integração por partes:
  • Escolhemos Lt^2 = 2sintegral0^inftyt e^-stdt e Lt^2 = 2scdot1s^2 = 2s^3 .
  • Então e
    Fica
O primeiro termo é zero (quando , ; em 0 também é 0). Então
Agora, (sabido ou por nova integração por partes).
Logo

Passo 4

Calcular Lt = 1s^2 . É o caso a,Lt = as^2 , que já usamos:
Como vinha multiplicado por , temos

Passo 5

Calcular b,L1 = bs . Ou seja,
Multiplicando por :

Passo 6

Juntando tudo pela linearidade:
Lt^2 + a,t + b = 2s^3 ;+;as^2;+;bs

Resposta

boxedLt^2+a,t+b(s) ;=; 2s^3 ;+;as^2 ;+;bs

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