1,0 1.
Calcule a transformada de Laplace da função:
Justifique utilizando propriedades conhecidas da transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace de
e justificar o resultado usando propriedades conhecidas da transformada de Laplace.
Informações dadas: a função está definida para
(hipótese usual para transformada de Laplace) e os parâmetros são
(no expoente) e
(na senoide). O que devemos obter é uma expressão em função de
(a variável da transformada) e indicar a região de convergência correta.
Informações dadas: a função
Passo 2
Definição e propriedade de deslocamento: a transformada de Laplace de uma função
é
Seja
. Para a função multiplicada por um exponencial
temos, usando a definição,
Isto é, multiplicar no tempo por
corresponde a deslocar a variável
de
para
. A condição de convergência muda conforme
: se
existe para
, então
existe para
, isto é,
.
Passo 3
Vamos obter a transformada de
(aqui
). Defina
para
(para garantir que
decai em
). Para calcular
usamos integração por partes duas vezes.
Primeira integração por partes: tome
e
. Então
e
. Assim
Pelo decaimento exponencial (pois
) o termo no infinito é zero e no
a parcela vale zero, logo
onde definimos
Segunda integração por partes para
: tome
e
. Então
e
. Assim
O termo de fronteira dá
(novamente usando
), e a integral restante é
. Portanto
Passo 4
Agora substituímos
na relação anterior
. Obtemos
Isolando
:
Portanto, temos a fórmula conhecida
No nosso caso
, logo
Passo 5
Aplicando a propriedade de deslocamento do Passo 2 com
: se
então
A região de convergência desloca-se de
para
.