1,0 1. (1,0) Calcule a transformada de Laplace da função:
f(t)=e^{2 t} \sin (3 t)
Justifique utilizando propriedades conhecidas da transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace de f(t)=e^{2t}\sin(3t) e justificar o resultado usando propriedades conhecidas da transformada de Laplace.
Informações dadas: a função f(t) está definida para t\ge 0 (hipótese usual para transformada de Laplace) e os parâmetros são 2 (no expoente) e 3 (na senoide). O que devemos obter é uma expressão em função de s (a variável da transformada) e indicar a região de convergência correta.

Passo 2

Definição e propriedade de deslocamento: a transformada de Laplace de uma função g(t) é
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)\,dt.
Seja G(s)=\mathcal{L}\{g\}(s). Para a função multiplicada por um exponencial e^{at}g(t) temos, usando a definição,
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}g(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}g(t)\,dt=G(s-a).
Isto é, multiplicar no tempo por e^{at} corresponde a deslocar a variável s de G(s) para G(s-a). A condição de convergência muda conforme G: se G(u) existe para \operatorname{Re}(u)>0, então \mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}(s) existe para \operatorname{Re}(s-a)>0, isto é, \operatorname{Re}(s)>a.

Passo 3

Vamos obter a transformada de \sin(\omega t) (aqui \omega=3). Defina
I(\,s\,)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(\omega t)\,dt,
para \operatorname{Re}(s)>0 (para garantir que e^{-st} decai em +\infty). Para calcular I(s) usamos integração por partes duas vezes.
Primeira integração por partes: tome u=\sin(\omega t) e dv=e^{-st}dt. Então du=\omega\cos(\omega t)dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim
I(s)=\Big[-\frac{1}{s}e^{-st}\sin(\omega t)\Big]_{0}^{\infty}+\frac{\omega}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(\omega t)\,dt.
Pelo decaimento exponencial (pois \operatorname{Re}(s)>0) o termo no infinito é zero e no t=0 a parcela vale zero, logo
I(s)=\frac{\omega}{s}J(s),
onde definimos
J(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(\omega t)\,dt.
Segunda integração por partes para J(s): tome u=\cos(\omega t) e dv=e^{-st}dt. Então du=-\omega\sin(\omega t)dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim
J(s)=\Big[-\frac{1}{s}e^{-st}\cos(\omega t)\Big]_{0}^{\infty}+\frac{\omega}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(\omega t)\,dt.
O termo de fronteira dá \dfrac{1}{s} (novamente usando \operatorname{Re}(s)>0), e a integral restante é I(s). Portanto
J(s)=\frac{1}{s}+\frac{\omega}{s}I(s).

Passo 4

Agora substituímos J(s) na relação anterior I(s)=\dfrac{\omega}{s}J(s). Obtemos
I(s)=\frac{\omega}{s}\left(\frac{1}{s}+\frac{\omega}{s}I(s)\right)=\frac{\omega}{s^{2}}+\frac{\omega^{2}}{s^{2}}I(s).
Isolando I(s):
I(s)\Big(1-\frac{\omega^{2}}{s^{2}}\Big)=\frac{\omega}{s^{2}}\quad\Longrightarrow\quad I(s)=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}.
Portanto, temos a fórmula conhecida
\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}(s)=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.
No nosso caso \omega=3, logo
\mathcal{L}\{\sin(3t)\}(s)=\frac{3}{s^{2}+9},\qquad \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 5

Aplicando a propriedade de deslocamento do Passo 2 com a=2: se G(s)=\mathcal{L}\{\sin(3t)\}(s) então
\mathcal{L}\{e^{2t}\sin(3t)\}(s)=G(s-2)=\frac{3}{(s-2)^{2}+9}.
A região de convergência desloca-se de \operatorname{Re}(s)>0 para \operatorname{Re}(s)>2.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{2t}\sin(3t)\}(s)=\dfrac{3}{(s-2)^{2}+9},\\ \operatorname{Re}(s)>2

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