Calcule a Transformada de Laplace da função:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a Transformada de Laplace da função:
A Transformada de Laplace é uma ferramenta muito útil em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com integrais e funções multiplicadas por potências de $ t $.
Passo 2
Vamos começar aplicando uma propriedade importante da Transformada de Laplace que diz:
Isso significa que a Transformada de Laplace da integral da função $ f(\tau) $ de 0 até $ x $ é igual a $ \frac{1}{s} $ multiplicado pela Transformada de Laplace de $ f(x) $.
No nosso caso, $ f(\tau) = \tau^{2} \sin(3 \tau) $, então podemos escrever:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a Transformada de Laplace de $ \tau^{2} \sin(3 \tau) $. Há uma fórmula padrão para isso:
No nosso caso, $ n = 2 $ e $ a = 3 $. Aplicando esses valores na fórmula, temos:
Passo 4
Agora que temos a Transformada de Laplace de $ \tau^{2} \sin(3 \tau) $, vamos substituí-la de volta na equação que tínhamos no Passo 2:
Resposta
A Transformada de Laplace da função $ F(x) $ é: