Calcule a Transformada de Laplace da função:
F(x)=integral0^x tau^2 sin (3 tau) d tau

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a Transformada de Laplace da função:
F(x) = integral0^x tau^2 sin (3 tau) , dtau
A Transformada de Laplace é uma ferramenta muito útil em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com integrais e funções multiplicadas por potências de $ t $.

Passo 2

Vamos começar aplicando uma propriedade importante da Transformada de Laplace que diz:
L integral0^x f(tau) , dtau = 1s L f(x)
Isso significa que a Transformada de Laplace da integral da função $ f(\tau) $ de 0 até $ x $ é igual a $ \frac{1}{s} $ multiplicado pela Transformada de Laplace de $ f(x) $.
No nosso caso, $ f(\tau) = \tau^{2} \sin(3 \tau) $, então podemos escrever:
f(tau)

Passo 3

Agora, precisamos calcular a Transformada de Laplace de $ \tau^{2} \sin(3 \tau) $. Há uma fórmula padrão para isso:
No nosso caso, $ n = 2 $ e $ a = 3 $. Aplicando esses valores na fórmula, temos:

Passo 4

Agora que temos a Transformada de Laplace de $ \tau^{2} \sin(3 \tau) $, vamos substituí-la de volta na equação que tínhamos no Passo 2:
tau^2 sin(3 tau)

Resposta

A Transformada de Laplace da função $ F(x) $ é:
F(x)

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