Resolva a EDO nāo homogénea:
y^prime prime(x)-2 y^prime(x)+y(x)=e^xraizx, x>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você mandou:
y''(x) - 2 y'(x) + y(x) = e^xraizx, x > 0
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) não homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y''(x) - 2 y'(x) + y(x) = 0
Para isso, usamos a equação característica, que é uma forma de transformar a EDO em uma equação algébrica. Substituímos $ y $ por $ e^{rx} $, o que nos dá:
y
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes.

Passo 3

Vamos encontrar as raízes da equação característica:
r^2 - 2r + 1 = 0
Essa é uma equação quadrática que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 12 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 42 = 22 = 1
Então, temos uma raiz dupla $ r = 1 $.

Passo 4

Com a raiz dupla $ r = 1 $, a solução geral da equação homogênea é:
r = 1
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se tiverem.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação não homogênea:
yp(x)
Como o lado direito envolve $ \frac{e^{x}}{\sqrt{x}} $, vamos tentar uma solução particular da forma:
y''(x) - 2 y'(x) + y(x) = e^xraizx
Onde $ u(x) $ é uma função que precisamos determinar.

Passo 6

Calculamos as derivadas de $ y_p(x) $:
yp(x)
yp' = u'(x) e^x + u(x) e^x
Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original.

Passo 7

Substituindo na equação:
u''(x) e^x + 2 u'(x) e^x + u(x) e^x - 2 ( u'(x) e^x + u(x) e^x ) + u(x) e^x = e^xraizx
Simplificando:
u''(x) e^x = e^xraizx
Dividindo ambos os lados por $ e^{x} $:
e^x

Passo 8

Agora, precisamos resolver:
u''(x) = 1raizx
Integramos duas vezes para encontrar $ u(x) $:
Primeira integração:
u(x)
Segunda integração:
u'(x) = integral 1raizx dx = 2 raizx + C
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar as constantes $ C $ e $ D $.

Passo 9

Então, a solução particular é:
yp(x) = u(x) e^x = ( 43 x^3/2 ) e^x

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = (C1 + C2 x)e^x + 43 x^3/2 e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = ( C1 + C2 x + 43 x^3/2 ) e^x
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados