Resolva a EDO nāo homogénea:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você mandou:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) não homogênea de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes: a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, usamos a equação característica, que é uma forma de transformar a EDO em uma equação algébrica. Substituímos $ y $ por $ e^{rx} $, o que nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes.
Passo 3
Vamos encontrar as raízes da equação característica:
Essa é uma equação quadrática que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla $ r = 1 $.
Passo 4
Com a raiz dupla $ r = 1 $, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se tiverem.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação não homogênea:
Como o lado direito envolve $ \frac{e^{x}}{\sqrt{x}} $, vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde $ u(x) $ é uma função que precisamos determinar.
Passo 6
Calculamos as derivadas de $ y_p(x) $:
Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original.
Passo 7
Substituindo na equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por $ e^{x} $:
Passo 8
Agora, precisamos resolver:
Integramos duas vezes para encontrar $ u(x) $:
Primeira integração:
Primeira integração:
Segunda integração:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos ignorar as constantes $ C $ e $ D $.
Passo 9
Então, a solução particular é:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.