Resolva a EDO não homogênea com condições iniciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
Aqui, vamos utilizar os conceitos de solução geral de EDOs lineares, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não homogênea. Vamos precisar encontrar essas soluções e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A gente monta a equação característica substituindo $ z(x) = e^{rx} $:
Resolvendo para $ r $:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar depois.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o termo $ \sin(2x) $ já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar por $ x $ para tentar uma solução da forma:
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que vamos achar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de $ z_p(x) $:
Substituindo $ z_p $, $ z_p’ $ e $ z_p’’ $ na equação original:
Após simplificar, igualamos os coeficientes dos termos $ \sin(2x) $ e $ \cos(2x) $ para encontrar $ A $ e $ B $:
Isso nos dá o sistema:
Então, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, com $ x = 0 $:
Então, $ C_1 = 2 $.
Agora, calculamos a derivada $ z’(x) $:
Aplicando $ x = 0 $ e considerando $ z’(0) = 0 $:
Resolvendo para $ C_2 $:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: