Resolva a EDO não homogênea com condições iniciais:
z^prime prime(x)+4 z(x)=3 sin (2 x), z(0)=2, z^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
z''(x) + 4 z(x) = 3 sin(2x), z(0) = 2, z'(0) = 0
Aqui, vamos utilizar os conceitos de solução geral de EDOs lineares, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação não homogênea. Vamos precisar encontrar essas soluções e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
z''(x) + 4 z(x) = 0
A gente monta a equação característica substituindo $ z(x) = e^{rx} $:
z(x) = e^rx
Resolvendo para $ r $:
r^2 + 4 = 0
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
r
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar depois.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
z''(x) + 4 z(x) = 3 sin(2x)
Como o termo $ \sin(2x) $ já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar por $ x $ para tentar uma solução da forma:
sin(2x)
Aqui, $ A $ e $ B $ são constantes que vamos achar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de $ z_p(x) $:
zp(x)
zp'(x) = A cos(2x) + B sin(2x) + x (-2A sin(2x) + 2B cos(2x))
Substituindo $ z_p $, $ z_p’ $ e $ z_p’’ $ na equação original:
zp''(x) = -4A sin(2x) + 4B cos(2x) - 4A sin(2x) + 4B cos(2x) + x (-4A cos(2x) - 4B sin(2x))
Após simplificar, igualamos os coeficientes dos termos $ \sin(2x) $ e $ \cos(2x) $ para encontrar $ A $ e $ B $:
zp
Isso nos dá o sistema:
zp'
zp''
Então, a solução particular é:
zp''(x) + 4 zp(x) = 3 sin(2x)

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
z(x) = zh(x) + zp(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x) - 38 x cos(2x)

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, com $ x = 0 $:
C1
Então, $ C_1 = 2 $.
Agora, calculamos a derivada $ z’(x) $:
C2
Aplicando $ x = 0 $ e considerando $ z’(0) = 0 $:
x = 0
Resolvendo para $ C_2 $:
z(0) = C1 cos(0) + C2 sin(0) - 38 cdot 0 cdot cos(0) = C1 = 2

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
z(x) = 2 cos(2x) + 316 sin(2x) - 38 x cos(2x)

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