Calcule a Transformada de Laplace das funções abaixo. Apresente o resultado da forma mais simplificada possivel. g(t)=t * \operatorname{sen}(t)
Passo 1
O enunciado pede: calcular a Transformada de Laplace da função g(t)=t * \operatorname{sen}(t).
Informações dadas: a função no tempo é g(t)=t * \operatorname{sen}(t). Não há outras observações no enunciado.
Passo 2
Primeira ambiguidade a resolver: o símbolo * pode indicar multiplicação ponto a ponto ou convolução. Vou escolher interpretar * como convolução de sinais, ou seja, g(t)=(f * h)(t) com f(t)=t e h(t)=\operatorname{sen}(t). Justificativa: em problemas de Transformada de Laplace é muito comum usar * para convolução porque existe a propriedade útil
que simplifica muito o cálculo. Se o enunciado quisesse produto ponto a ponto teria sido mais natural usar apenas t\operatorname{sen}(t) sem o asterisco. Vou, portanto, aplicar a propriedade da convolução.
Passo 3
Lembrete didático: definição de convolução (para fixar ideia)
(f*h)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
E a propriedade fundamental da Transformada de Laplace para convolução é
\mathcal{L}\{f*h\}(s)=F(s)\,H(s),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s) e H(s)=\mathcal{L}\{h\}(s). Aqui s é a variável complexa da transformada; usualmente consideramos a região de convergência \operatorname{Re}(s)>0 para funções com crescimento moderado.
Passo 4
Vou calcular separadamente as transformadas de f(t)=t e h(t)=\operatorname{sen}(t).
Fórmula útil (padrão): para n inteiro não-negativo,
Explicando: n é o expoente do tempo, s é a variável da transformada; essa fórmula vem de integrar t^{n}e^{-st} e usar a função gama, mas basta lembrar a forma prática acima.
Passo 5
Transformada de \operatorname{sen}(t): fórmula padrão
Simplificação final: fazer decomposição em frações parciais para uma forma mais agradável. Procuramos constantes A,B,C,D\) tais que
\[\frac{1}{s^{2}(s^{2}+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{Cs+D}{s^{2}+1}.
Multiplicando por s^{2}(s^{2}+1) e comparando coeficientes resulta no sistema