Calcule a Transformada de Laplace das funções abaixo. Apresente o resultado da forma mais simplificada possivel.
g(t)=t * \operatorname{sen}(t)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a Transformada de Laplace da função g(t)=t * \operatorname{sen}(t).
Informações dadas: a função no tempo é g(t)=t * \operatorname{sen}(t). Não há outras observações no enunciado.

Passo 2

Primeira ambiguidade a resolver: o símbolo * pode indicar multiplicação ponto a ponto ou convolução. Vou escolher interpretar * como convolução de sinais, ou seja, g(t)=(f * h)(t) com f(t)=t e h(t)=\operatorname{sen}(t). Justificativa: em problemas de Transformada de Laplace é muito comum usar * para convolução porque existe a propriedade útil
\mathcal{L}\{f*h\}(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)\cdot\mathcal{L}\{h\}(s),
que simplifica muito o cálculo. Se o enunciado quisesse produto ponto a ponto teria sido mais natural usar apenas t\operatorname{sen}(t) sem o asterisco. Vou, portanto, aplicar a propriedade da convolução.

Passo 3

Lembrete didático: definição de convolução (para fixar ideia)
(f*h)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
E a propriedade fundamental da Transformada de Laplace para convolução é
\mathcal{L}\{f*h\}(s)=F(s)\,H(s),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s) e H(s)=\mathcal{L}\{h\}(s). Aqui s é a variável complexa da transformada; usualmente consideramos a região de convergência \operatorname{Re}(s)>0 para funções com crescimento moderado.

Passo 4

Vou calcular separadamente as transformadas de f(t)=t e h(t)=\operatorname{sen}(t).
Fórmula útil (padrão): para n inteiro não-negativo,
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{\,n+1}},\qquad \text{para } \operatorname{Re}(s)>0.
Aqui n=1, então
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1!}{s^{2}}=\frac{1}{s^{2}}.
Explicando: n é o expoente do tempo, s é a variável da transformada; essa fórmula vem de integrar t^{n}e^{-st} e usar a função gama, mas basta lembrar a forma prática acima.

Passo 5

Transformada de \operatorname{sen}(t): fórmula padrão
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(t)\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1},\qquad \text{para } \operatorname{Re}(s)>0.
Explicando rapidamente: essa fórmula vem de integrar \int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(t)\,dt e obter \frac{1}{s^{2}+1}.

Passo 6

Aplicando a propriedade da convolução (Passo 3) com F(s)=\dfrac{1}{s^{2}} e H(s)=\dfrac{1}{s^{2}+1}, obtemos
\mathcal{L}\{g\}(s)=\mathcal{L}\{t*\operatorname{sen}(t)\}(s)=\frac{1}{s^{2}}\cdot\frac{1}{s^{2}+1}=\frac{1}{s^{2}\left(s^{2}+1\right)}.

Passo 7

Simplificação final: fazer decomposição em frações parciais para uma forma mais agradável. Procuramos constantes A,B,C,D\) tais que \[\frac{1}{s^{2}(s^{2}+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{Cs+D}{s^{2}+1}.
Multiplicando por s^{2}(s^{2}+1) e comparando coeficientes resulta no sistema
\begin{cases} A+C=0,\\[4pt] B+D=0,\\[4pt] A=0,\\[4pt] B=1. \end{cases}
Daí A=0\], \(C=0, B=1, D=-1. Portanto
\frac{1}{s^{2}(s^{2}+1)}=\frac{1}{s^{2}}-\frac{1}{s^{2}+1}.
Essa é uma forma bem simples e útil da transformada.]

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\,t * \operatorname{sen}(t)\,\}(s)=\frac{1}{s^{2}}-\frac{1}{s^{2}+1},\quad \operatorname{Re}(s)>0

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