Encontre a derivada direcional de
na direção do vetor indicado.
na direção de
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a derivada direcional de
na direção do vetor indicado.
Dados do enunciado: e
.
O que se espera como resposta: uma expressão para a derivada direcional de na direção de
(ou seja,
onde
é o vetor unitário na direção de
).
Dados do enunciado:
O que se espera como resposta: uma expressão para a derivada direcional de
Passo 2
Encontrar o vetor unitário
na direção de
.
Primeiro a norma de :
Primeiro a norma de
Logo o vetor unitário
é
dividido pela sua norma:
Aqui
tem comprimento
e aponta na mesma direção de
.
Passo 3
Explicar a fórmula que vamos usar (o “porquê”): a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
é o produto escalar do gradiente de
com
. Em símbolo:
O gradiente
é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
:
Intuição rápida:
mede como
muda quando só mudamos
;
mede como
muda quando só mudamos
. O produto escalar com
combina essas mudanças na direção desejada.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivando em relação a tratando
como constante:
Derivando em relação a
pois a derivada de
é
, de
é
(já que
é constante) e de
em relação a
é
.
Derivando em relação a tratando
como constante:
Derivando em relação a
pois a derivada de
é
e de
em relação a
é
.
Passo 5
Formar o gradiente e calcular o produto escalar com
.
O gradiente é
O gradiente é
A derivada direcional é
Fazendo o produto escalar e fatorando
:
Agora simplificamos o parêntese:
Passo 6
Escrever a expressão final simplificada da derivada direcional.
Portanto
Portanto
Interpretação rápida: para cada ponto
substitua na expressão acima para obter a taxa de variação de
na direção de
. Um exemplo numérico para ganhar confiança: em
temos
.