Encontre a derivada direcional de f na direção do vetor indicado.
f(x, y)=x^{2}+y^{2}-5 x y na direção de \vec{v}=\langle 1,-4\rangle

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a derivada direcional de f na direção do vetor indicado.
Dados do enunciado: f(x,y)=x^{2}+y^{2}-5xy e \vec{v}=\langle 1,-4\rangle.
O que se espera como resposta: uma expressão para a derivada direcional de f na direção de \vec{v} (ou seja, D_{\mathbf{u}}f(x,y) onde \mathbf{u} é o vetor unitário na direção de \vec{v}).

Passo 2

Encontrar o vetor unitário \mathbf{u} na direção de \vec{v}.
Primeiro a norma de \vec{v}:
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}.
Logo o vetor unitário \mathbf{u} é \vec{v} dividido pela sua norma:
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{17}}\langle 1,-4\rangle=\left\langle \frac{1}{\sqrt{17}},-\frac{4}{\sqrt{17}}\right\rangle.
Aqui \mathbf{u} tem comprimento 1 e aponta na mesma direção de \vec{v}.

Passo 3

Explicar a fórmula que vamos usar (o “porquê”): a derivada direcional de f no ponto (x,y) na direção do vetor unitário \mathbf{u} é o produto escalar do gradiente de f com \mathbf{u}. Em símbolo:
D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\mathbf{u}.
O gradiente \nabla f(x,y) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Intuição rápida: \frac{\partial f}{\partial x} mede como f muda quando só mudamos x; \frac{\partial f}{\partial y} mede como f muda quando só mudamos y. O produto escalar com \mathbf{u} combina essas mudanças na direção desejada.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de f.
Derivando em relação a x tratando y como constante:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-5y,
pois a derivada de x^{2} é 2x, de y^{2} é 0 (já que y é constante) e de -5xy em relação a x é -5y.
Derivando em relação a y tratando x como constante:
\frac{\partial f}{\partial y}=2y-5x,
pois a derivada de y^{2} é 2y e de -5xy em relação a y é -5x.

Passo 5

Formar o gradiente e calcular o produto escalar com \mathbf{u}.
O gradiente é
\\ \nabla f(x,y)=\langle 2x-5y,\;2y-5x\rangle.
A derivada direcional é
D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\mathbf{u} =\langle 2x-5y,\;2y-5x\rangle\cdot\left\langle \frac{1}{\sqrt{17}},-\frac{4}{\sqrt{17}}\right\rangle.
Fazendo o produto escalar e fatorando 1/\sqrt{17}:
D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{17}}\big((2x-5y)\cdot 1 + (2y-5x)\cdot(-4)\big).
Agora simplificamos o parêntese:
(2x-5y)-4(2y-5x)=2x-5y-8y+20x=22x-13y.

Passo 6

Escrever a expressão final simplificada da derivada direcional.
Portanto
D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\frac{22x-13y}{\sqrt{17}}.
Interpretação rápida: para cada ponto (x,y) substitua na expressão acima para obter a taxa de variação de f na direção de \vec{v}. Um exemplo numérico para ganhar confiança: em (x,y)=(1,0) temos D_{\mathbf{u}}f(1,0)=\dfrac{22\cdot 1-13\cdot 0}{\sqrt{17}}=\dfrac{22}{\sqrt{17}}.

Resposta

\displaystyle \frac{22x-13y}{\sqrt{17}}

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