1. Encontre a Transformada de Laplace inversa para Y(s)=\frac{s^{3}+3 s^{2}+3 s+2}{(s+1)^{4}} \cdot(3,5 Pontos ).

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de Y(s)=\dfrac{s^{3}+3 s^{2}+3 s+2}{(s+1)^{4}}.
Informações relevantes dadas: o numerador é s^{3}+3 s^{2}+3 s+2 e o denominador é (s+1)^{4}. O objetivo é encontrar y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}.

Passo 2

Estratégia: vou simplificar a fração tentando escrever o numerador em termos de potências de (s+1). Isso costuma facilitar porque a transformada inversa de termos do tipo \dfrac{1}{(s-a)^{n+1}} é conhecida. Não usarei decomposição em frações parciais complicada porque aqui é possível uma manipulação algébrica direta.

Passo 3

Observe a expansão do binômio (s+1)^{3}. Calculemos:
(s+1)^{3}=s^{3}+3s^{2}+3s+1.
Comparando com o numerador dado s^{3}+3s^{2}+3s+2, vemos que
s^{3}+3s^{2}+3s+2=(s+1)^{3}+1.

Passo 4

Substituindo essa identidade em Y(s) obtemos
Y(s)=\frac{(s+1)^{3}+1}{(s+1)^{4}} =\frac{(s+1)^{3}}{(s+1)^{4}}+\frac{1}{(s+1)^{4}} =\frac{1}{s+1}+\frac{1}{(s+1)^{4}}.

Passo 5

Agora precisamos das transformadas inversas básicas. Vou lembrar e explicar a fórmula essencial:
  • A transformada de Laplace de t^{n} (com n inteiro não negativo) é
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Aqui n! é o fatorial de n e s é a variável da transformada.
  • Usando a propriedade do deslocamento exponencial, para a real temos
\mathcal{L}\{t^{n}e^{a t}\}=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.
Portanto a transformada inversa de \dfrac{1}{(s-a)^{n+1}} é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-a)^{n+1}}\right\}=\frac{t^{n}e^{a t}}{n!}.
Nessas fórmulas, n é um inteiro \ge 0, a é a constante do deslocamento exponencial, s é a variável no domínio de Laplace, e t é a variável temporal da função inversa.

Passo 6

Aplique a fórmula ao primeiro termo \dfrac{1}{s+1}. Aqui podemos ver \dfrac{1}{s+1}=\dfrac{1}{s-(-1)}, que corresponde a n=0 e a=-1. Pela fórmula,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=t^{0}e^{-1\cdot t}/0!=e^{-t}.

Passo 7

Aplique a fórmula ao segundo termo \dfrac{1}{(s+1)^{4}}. Isso corresponde a n=3 (pois n+1=4) e a=-1. Assim
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{4}}\right\}=\frac{t^{3}e^{-t}}{3!}=\frac{t^{3}e^{-t}}{6}.

Passo 8

Some as duas partes (linearidade da transformada inversa):
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}=e^{-t}+\frac{t^{3}e^{-t}}{6}.
Podemos fatorar e^{-t} se quisermos uma forma mais compacta:
y(t)=e^{-t}\left(1+\frac{t^{3}}{6}\right).

Resposta

y(t)=e^{-t}+\dfrac{t^{3}e^{-t}}{6}

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