- Encontre a Transformada de Laplace inversa para
Pontos
.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
.
Informações relevantes dadas: o numerador é e o denominador é
. O objetivo é encontrar
.
Informações relevantes dadas: o numerador é
Passo 2
Estratégia: vou simplificar a fração tentando escrever o numerador em termos de potências de
. Isso costuma facilitar porque a transformada inversa de termos do tipo
é conhecida. Não usarei decomposição em frações parciais complicada porque aqui é possível uma manipulação algébrica direta.
Passo 3
Observe a expansão do binômio
. Calculemos:
Comparando com o numerador dado
, vemos que
Passo 4
Substituindo essa identidade em
obtemos
Passo 5
Agora precisamos das transformadas inversas básicas. Vou lembrar e explicar a fórmula essencial:
- A transformada de Laplace de
(com inteiro não negativo) é
Aqui
é o fatorial de
e
é a variável da transformada.
- Usando a propriedade do deslocamento exponencial, para
real temos
Portanto a transformada inversa de
é
Nessas fórmulas,
é um inteiro
,
é a constante do deslocamento exponencial,
é a variável no domínio de Laplace, e
é a variável temporal da função inversa.
Passo 6
Aplique a fórmula ao primeiro termo
. Aqui podemos ver
, que corresponde a
e
. Pela fórmula,
Passo 7
Aplique a fórmula ao segundo termo
. Isso corresponde a
(pois
) e
. Assim
Passo 8
Some as duas partes (linearidade da transformada inversa):
Podemos fatorar
se quisermos uma forma mais compacta: