Encontre a derivada direcional de
na direção do vetor indicado.
na direção de
Passo 1
O que o problema pede: encontrar a derivada direcional de
na direção do vetor indicado
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
e
Observação: aqui vou usar a notação trigonométrica usual em TeX, isto é,
em vez de “sen”; portanto
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas): a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é o produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor unitário
na direção de
. Em fórmula:
onde
Explicando:
reúne as derivadas parciais;
é o comprimento (norma) de
. Essa fórmula evita aproximar por limites e é a maneira padrão em prova.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Temos
com
. Aplicando a regra da cadeia:
Agora calculemos
e
:
Logo as derivadas parciais são
Então o gradiente é
Passo 4
Normalizar o vetor
. Primeiro a norma:
O vetor unitário na direção de
é
Comentário: sempre lembrar de normalizar antes de usar no produto escalar para obter a derivada direcional padrão.
Passo 5
Fazer o produto escalar
. Multiplicando componente a componente:
Colocando em fator comum
:
Simplificando o produto
: