Encontre a derivada direcional de f na direção do vetor indicado.
f(x, y)=\ln \left(2 x^{2}+\operatorname{sen} y\right) na direção de \vec{v}=\langle 7,-3\rangle

Passo 1

O que o problema pede: encontrar a derivada direcional de f na direção do vetor indicado \vec{v}=\langle 7,-3\rangle.
Dados fornecidos:
f(x,y)=\ln\!\bigl(2x^{2}+\operatorname{sen}y\bigr)
e
\vec{v}=\langle 7,-3\rangle.
Observação: aqui vou usar a notação trigonométrica usual em TeX, isto é, \sin em vez de “sen”; portanto \operatorname{sen}y=\sin y.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas rápidas): a derivada direcional de f no ponto (x,y) na direção do vetor \vec{v} é o produto escalar entre o gradiente de f em (x,y) e o vetor unitário \vec{u} na direção de \vec{v}. Em fórmula:
D_{\vec{v}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\vec{u},
onde
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
Explicando: \nabla f(x,y)=\bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\bigr) reúne as derivadas parciais; \|\vec{v}\| é o comprimento (norma) de \vec{v}. Essa fórmula evita aproximar por limites e é a maneira padrão em prova.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Temos f(x,y)=\ln\bigl(g(x,y)\bigr) com g(x,y)=2x^{2}+\sin y. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{g(x,y)}\cdot\frac{\partial g}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{g(x,y)}\cdot\frac{\partial g}{\partial y}.
Agora calculemos \frac{\partial g}{\partial x} e \frac{\partial g}{\partial y}:
\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{d}{dx}(2x^{2})=4x, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=\frac{d}{dy}(\sin y)=\cos y.
Logo as derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{4x}{2x^{2}+\sin y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\cos y}{2x^{2}+\sin y}.
Então o gradiente é
\nabla f(x,y)=\left\langle \frac{4x}{2x^{2}+\sin y},\;\frac{\cos y}{2x^{2}+\sin y}\right\rangle.

Passo 4

Normalizar o vetor \vec{v}. Primeiro a norma:
\|\vec{v}\|=\sqrt{7^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{49+9}=\sqrt{58}.
O vetor unitário na direção de \vec{v} é
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left\langle \frac{7}{\sqrt{58}},\;-\frac{3}{\sqrt{58}}\right\rangle.
Comentário: sempre lembrar de normalizar antes de usar no produto escalar para obter a derivada direcional padrão.

Passo 5

Fazer o produto escalar \nabla f(x,y)\cdot\vec{u}. Multiplicando componente a componente:
D_{\vec{v}}f(x,y)=\frac{4x}{2x^{2}+\sin y}\cdot\frac{7}{\sqrt{58}} +\frac{\cos y}{2x^{2}+\sin y}\cdot\left(-\frac{3}{\sqrt{58}}\right).
Colocando em fator comum \dfrac{1}{(2x^{2}+\sin y)\sqrt{58}}:
D_{\vec{v}}f(x,y)=\frac{1}{(2x^{2}+\sin y)\sqrt{58}}\bigl(4x\cdot 7 - 3\cos y\bigr).
Simplificando o produto 4x\cdot 7:
D_{\vec{v}}f(x,y)=\frac{28x-3\cos y}{(2x^{2}+\sin y)\sqrt{58}}.

Resposta

\frac{28x-3\cos y}{(2x^{2}+\sin y)\sqrt{58}}

Exercícios relacionados