Calcule a transformada de Laplace das funções abaixo:
f(t)=cosh (at)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=cosh(at)
O conteúdo envolvido é a definição de transformada de Laplace e a propriedade de linearidade, além do fato de sabermos a transformada de exp(bt).

Passo 2

Usamos a definição de cosseno hiperbólico em termos de exponenciais:
cosh(at)=e^at+e^-at2
Assim, podemos aplicar a transformada de Laplace linearmente a cada termo.

Passo 3

A transformada de Laplace de e^bt é
Le^bt(s)=integral0^inftye^-ste^bt,dt=1s-b, Re(s)> Re(b)
Logo,
Lcosh(at) =12l(Le^at+Le^-atr) =12l(1s-a+1s+ar)

Passo 4

Fazendo a soma das frações:
12l(1s-a+1s+ar) =12,(s+a)+(s-a)(s-a)(s+a) =ss^2-a^2

Resposta

Lcosh(at)(s)=ss^2-a^2, Re(s)>lvert arvert

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