Calcule a transformada de Laplace inversa:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a transformada de Laplace inversa de
. Isso significa que a gente quer encontrar a função
que, ao aplicar a transformada de Laplace, resulta em
. Para isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar expressões racionais como essa para facilitar a inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. Isso significa que vamos escrever
como a soma de termos mais simples, cujas transformadas inversas conhecemos facilmente. Vamos supor que:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
Passo 4
Vamos escolher
:
Passo 5
Agora, escolha
:
Passo 6
Em seguida, escolha
:
Passo 7
Agora que encontramos
,
e
, podemos reescrever
:
Passo 8
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace inversa de
é: