Calcule a transformada de Laplace inversa:
F(s)=2 s-5s(s-3)(s+4);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a transformada de Laplace inversa de . Isso significa que a gente quer encontrar a função que, ao aplicar a transformada de Laplace, resulta em . Para isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a simplificar expressões racionais como essa para facilitar a inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 2s - 5s(s - 3)(s + 4) = As + Bs - 3 + Cs + 4 em frações parciais. Isso significa que vamos escrever como a soma de termos mais simples, cujas transformadas inversas conhecemos facilmente. Vamos supor que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de 2s - 5 = A(s - 3)(s + 4) + B s (s + 4) + C s (s - 3) , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos escolher valores de que simplifiquem a equação.

Passo 4

Vamos escolher 2(0) - 5 = A(0 - 3)(0 + 4) + B(0)(0 + 4) + C(0)(0 - 3) :
-5 = A(-3)(4) + 0 + 0 Rightarrow -5 = -12A Rightarrow A = 512

Passo 5

Agora, escolha 2(3) - 5 = A(3 - 3)(3 + 4) + B(3)(3 + 4) + C(3)(3 - 3) :
6 - 5 = 0 + 21B + 0 Rightarrow 1 = 21B Rightarrow B = 121

Passo 6

Em seguida, escolha 2(-4) - 5 = A(-4 - 3)(-4 + 4) + B(-4)(-4 + 4) + C(-4)(-4 - 3) :
-8 - 5 = 0 + 0 + C(-4)(-7) Rightarrow -13 = 28C Rightarrow C = -1328

Passo 7

Agora que encontramos F(s) = 512 cdot 1s + 121 cdot 1s - 3 - 1328 cdot 1s + 4 , e , podemos reescrever :

Passo 8

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-1 1s = 1
L^-1 1s - a = e^at
Aplicando isso aos nossos termos:
L^-1 512 cdot 1s = 512
L^-1 121 cdot 1s - 3 = 121 e^3t
L^-1 -1328 cdot 1s + 4 = -1328 e^-4t

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace inversa de f(t) = 512 + 121 e^3t - 1328 e^-4t é:

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