Questão 2 (2,5 pontos) Resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
O que se quer: encontrar todas as funções
que satisfazem essa igualdade em algum intervalo de
. As informações dadas são apenas a equação em si; não há condição inicial fornecida.
Passo 2
Vamos identificar uma estratégia: isolamos o termo com derivada para ver a estrutura da equação. Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Note que o lado direito é um produto de uma função só de
(que é
) pela função só de
(que é
). Isso significa que a equação é separável: podemos agrupar tudo que depende de
de um lado e tudo que depende de
do outro. Explico a ideia de separação: para uma equação da forma
, podemos escrever
e integrar ambos os lados.
Passo 3
Aplicando separação de variáveis aqui, escrevemos
Agora integramos ambos os lados. Antes de integrar, uma pequena aula de integração rápida: a regra para potência é
para
. No nosso caso temos
, com
, então
Do lado direito,
. Fazendo as integrais com uma única constante arbitrária
(vamos reunir constantes depois), temos
Passo 4
Agora manipular algebricamente para isolar
. Primeiro podemos multiplicar por
:
Renomeando a constante arbitrária
por uma nova constante
(isso é padrão: constante de integração pode ser trocada por outra), escrevemos
onde agora
representa um número real arbitrário. Finalmente isolamos
:
Observação sobre a manipulação de constantes: trocar o sinal da constante de integração não altera generalidade — continua sendo uma constante arbitrária.
Passo 5
Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução encontrada e substituindo na equação original para checar. Para
tem-se
E
Somando dá
, então a solução verifica a equação.
Passo 6
Cuidado com soluções perdidas: ao separar variáveis dividimos por
, o que assume
. Portanto a função identicamente zero
também deve ser testada separadamente. Se
então
e
, logo a equação é satisfeita. Assim
é uma solução válida (uma solução singular que não aparece na família obtida dividindo por
).
Passo 7
Considerações sobre domínio: para a solução geral
o denominador não pode ser zero. Ou seja, a solução está definida em intervalos nos quais
. A constante
é real arbitrária; se existir
tal que
então a expressão tem singularidade nesse ponto e a solução só vale em intervalos que não contenham tal
.