Questão 2 (2,5 pontos) Resolva a equação diferencial dada.
\frac{d y}{d x}+2 x y^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
\frac{d y}{d x}+2 x y^{2}=0.
O que se quer: encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa igualdade em algum intervalo de x. As informações dadas são apenas a equação em si; não há condição inicial fornecida.

Passo 2

Vamos identificar uma estratégia: isolamos o termo com derivada para ver a estrutura da equação. Subtraindo 2x y^{2} de ambos os lados obtemos
\frac{d y}{d x}=-2x y^{2}.
Note que o lado direito é um produto de uma função só de x (que é -2x) pela função só de y (que é y^{2}). Isso significa que a equação é separável: podemos agrupar tudo que depende de y de um lado e tudo que depende de x do outro. Explico a ideia de separação: para uma equação da forma \dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y), podemos escrever \dfrac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx e integrar ambos os lados.

Passo 3

Aplicando separação de variáveis aqui, escrevemos
\frac{1}{y^{2}}\,dy=-2x\,dx.
Agora integramos ambos os lados. Antes de integrar, uma pequena aula de integração rápida: a regra para potência é \displaystyle\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1. No nosso caso temos y^{-2}, com n=-2, então
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy=\int y^{-2}\,dy=\frac{y^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{y}+C.
Do lado direito, \displaystyle\int -2x\,dx=-2\cdot\frac{x^{2}}{2}=-x^{2}+C. Fazendo as integrais com uma única constante arbitrária C (vamos reunir constantes depois), temos
-\frac{1}{y}=-x^{2}+C.

Passo 4

Agora manipular algebricamente para isolar y. Primeiro podemos multiplicar por -1:
\frac{1}{y}=x^{2}-C.
Renomeando a constante arbitrária -C por uma nova constante C_{1} (isso é padrão: constante de integração pode ser trocada por outra), escrevemos
\frac{1}{y}=x^{2}+C,
onde agora C representa um número real arbitrário. Finalmente isolamos y:
y=\frac{1}{x^{2}+C}.
Observação sobre a manipulação de constantes: trocar o sinal da constante de integração não altera generalidade — continua sendo uma constante arbitrária.

Passo 5

Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução encontrada e substituindo na equação original para checar. Para y=\dfrac{1}{x^{2}+C} tem-se
\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{(x^{2}+C)^{2}}.
E
2x y^{2}=2x\left(\frac{1}{x^{2}+C}\right)^{2}=\frac{2x}{(x^{2}+C)^{2}}.
Somando dá \dfrac{dy}{dx}+2x y^{2}= -\dfrac{2x}{(x^{2}+C)^{2}}+\dfrac{2x}{(x^{2}+C)^{2}}=0, então a solução verifica a equação.

Passo 6

Cuidado com soluções perdidas: ao separar variáveis dividimos por y^{2}, o que assume y\neq0. Portanto a função identicamente zero y(x)=0 também deve ser testada separadamente. Se y(x)=0 então \dfrac{dy}{dx}=0 e 2x y^{2}=0, logo a equação é satisfeita. Assim y\equiv 0 é uma solução válida (uma solução singular que não aparece na família obtida dividindo por y^{2}).

Passo 7

Considerações sobre domínio: para a solução geral y=\dfrac{1}{x^{2}+C} o denominador não pode ser zero. Ou seja, a solução está definida em intervalos nos quais x^{2}+C\neq0. A constante C é real arbitrária; se existir x tal que x^{2}+C=0 então a expressão tem singularidade nesse ponto e a solução só vale em intervalos que não contenham tal x.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{x^{2}+C},\quad C\in\mathbb{R},\\ x^{2}+C\neq0\n
y(x)=0

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