Calcule a transformada de Laplace inversa das funções:
F_{1}(s)=\frac{-2 s+6}{s^{2}+4}

Passo 1

O enunciado dá a função de s
F_{1}(s)=\frac{-2s+6}{s^{2}+4}
e pede a transformada de Laplace inversa, ou seja, encontrar a função f_{1}(t) tal que
\mathcal{L}\{f_{1}(t)\}(s)=F_{1}(s).
Informações relevantes do enunciado:
  • O numerador é -2s+6.
  • O denominador é s^{2}+4, que pode ser visto como s^{2}+2^{2}.
  • Quer-se f_{1}(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F_{1}(s)\}(t).

Passo 2

Relembrando fórmulas básicas da transformada de Laplace (essas são ferramentas que usamos direto na prova):
  • Para a>0 e t\ge0,
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui s é a variável do domínio transformado (complexa) e a é a frequência da função no domínio do tempo.
  • Para a>0 e t\ge0,
\mathcal{L}\{\sin(at)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
  • A transformada de Laplace é linear: se F(s)=\alpha G(s)+\beta H(s) então \mathcal{L}^{-1}\{F\}(t)=\alpha \mathcal{L}^{-1}\{G\}(t)+\beta \mathcal{L}^{-1}\{H\}(t). Isso permite quebrar frações em soma de termos mais simples.

Passo 3

Identificar o parâmetro a no denominador. Como o denominador é s^{2}+4, temos
a=2,
porque s^{2}+4 = s^{2}+2^{2}. Isso é importante para casar com as fórmulas acima.

Passo 4

Usar linearidade para decompor F_{1}(s) em termos que correspondem diretamente a \cos(2t) e \sin(2t). Escrevemos
\frac{-2s+6}{s^{2}+4}=\frac{-2s}{s^{2}+4}+\frac{6}{s^{2}+4}.
Agora reconhecemos cada termo:
  • \dfrac{s}{s^{2}+2^{2}} corresponde a \mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s).
  • \dfrac{2}{s^{2}+2^{2}} corresponde a \mathcal{L}\{\sin(2t)\}(s).

Passo 5

Aplicar a inversa termo a termo:
  • Para o primeiro termo,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{-2s}{s^{2}+4}\right\}(t) = -2\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+2^{2}}\right\}(t) = -2\cos(2t).
Expliquei: multiplicar por -2 sai da transformada por linearidade; o núcleo \dfrac{s}{s^{2}+2^{2}} é \cos(2t).
  • Para o segundo termo, escrevemos 6/(s^{2}+4) como 3\cdot\bigl(2/(s^{2}+4)\bigr), porque 2/(s^{2}+2^{2}) é a transformada de \sin(2t). Assim,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{6}{s^{2}+4}\right\}(t)=3\;\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{s^{2}+2^{2}}\right\}(t)=3\sin(2t).

Passo 6

Somando os dois resultados por linearidade, obtemos a transformada inversa completa:
f_{1}(t) = -2\cos(2t) + 3\sin(2t),\qquad t\ge0.
Pequena verificação (útil na prova para garantir que não houve erro): aplicar a transformada direta em f_{1}(t)
  • \mathcal{L}\{-2\cos(2t)\} = -2\cdot \dfrac{s}{s^{2}+4} = \dfrac{-2s}{s^{2}+4}.
  • \mathcal{L}\{3\sin(2t)\} = 3\cdot \dfrac{2}{s^{2}+4} = \dfrac{6}{s^{2}+4}.
    Somando dá exatamente F_{1}(s), confirmando que a inversa está correta.

Resposta

f_{1}(t)=-2\cos(2t)+3\sin(2t)

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