Calcule a transformada de Laplace inversa das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função de
e pede a transformada de Laplace inversa, ou seja, encontrar a função
tal que
Informações relevantes do enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
, que pode ser visto como . - Quer-se
.
Passo 2
Relembrando fórmulas básicas da transformada de Laplace (essas são ferramentas que usamos direto na prova):
- Para
e ,
Aqui
é a variável do domínio transformado (complexa) e
é a frequência da função no domínio do tempo.
- Para
e ,
- A transformada de Laplace é linear: se
então . Isso permite quebrar frações em soma de termos mais simples.
Passo 3
Identificar o parâmetro
no denominador. Como o denominador é
, temos
porque
. Isso é importante para casar com as fórmulas acima.
Passo 4
Usar linearidade para decompor
em termos que correspondem diretamente a
e
. Escrevemos
Agora reconhecemos cada termo:
-
corresponde a . -
corresponde a .
Passo 5
Aplicar a inversa termo a termo:
- Para o primeiro termo,
Expliquei: multiplicar por
sai da transformada por linearidade; o núcleo
é
.
- Para o segundo termo, escrevemos
como , porque é a transformada de . Assim,
Passo 6
Somando os dois resultados por linearidade, obtemos a transformada inversa completa:
Pequena verificação (útil na prova para garantir que não houve erro): aplicar a transformada direta em
-
. -
.
Somando dá exatamente, confirmando que a inversa está correta.