(Olimpíada do Ceará-85) Encontre o quociente da divisão de
por
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o quociente da divisão de
pelo produto
Informações dadas e o que se pede:
- Numerador:
. - Denominador: produto dos termos
para (onde ). - Pedir: o quociente da divisão (isto é, o polinômio que multiplica o denominador para resultar no numerador).
Passo 2
Lembra da identidade básica diferença de quadrados, que é a ferramenta chave aqui:
Explicando: as duas parcelas do lado direito, multiplicadas, expandem para
porque os termos cruzados se cancelam. Essa identidade permite fatorar
em termos mais simples.
Passo 3
Vamos aplicar essa identidade ao caso geral
. Tomando
e
na identidade anterior, obtemos
Isto é, qualquer diferença de potências com expoente par pode ser escrita como produto de uma diferença com expoente menor e uma soma com expoente menor.
Passo 4
Usando o passo anterior repetidas vezes (fatoração sucessiva), fazemos a decomposição de
. Primeiro:
Agora fatoramos
do mesmo modo:
e assim por diante. Repetindo até chegar em expoente
, obtemos a cadeia completa:
Passo 5
Observe atentamente a fatoração do Passo 4: o numerador é exatamente o produto de
por todos os fatores que aparecem no denominador listado no enunciado. Portanto o numerador é o denominador multiplicado por
.
Passo 6
Como queremos o quociente da divisão do numerador pelo denominador, e vimos que o numerador é o denominador vezes
, concluímos que o quociente é
.
(Dica prática: a identity usada é válida sempre que o expoente é potência de ; aqui
.)
(Dica prática: a identity usada é válida sempre que o expoente é potência de