(Olimpíada do Ceará-85) Encontre o quociente da divisão de \mathrm{a}^{128}-\mathrm{b}^{128} por (\mathrm{a}+\mathrm{b})\left(\mathrm{a}^{2}+\right. \left.b^{2}\right)\left(a^{4}+b^{4}\right)\left(a^{8}+b^{8}\right)\left(a^{16}+b^{16}\right)\left(a^{32}+b^{32}\right)\left(a^{64}+b^{64}\right).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o quociente da divisão de \mathrm{a}^{128}-\mathrm{b}^{128} pelo produto
(\mathrm{a}+\mathrm{b})\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right)\left(\mathrm{a}^{4}+\mathrm{b}^{4}\right)\left(\mathrm{a}^{8}+\mathrm{b}^{8}\right)\left(\mathrm{a}^{16}+\mathrm{b}^{16}\right)\left(\mathrm{a}^{32}+\mathrm{b}^{32}\right)\left(\mathrm{a}^{64}+\mathrm{b}^{64}\!.
Informações dadas e o que se pede:
  • Numerador: \mathrm{a}^{128}-\mathrm{b}^{128}.
  • Denominador: produto dos termos \mathrm{a}^{2^k}+\mathrm{b}^{2^k} para k=0,1,\dots,6 (onde \mathrm{a}^{2^0}+\mathrm{b}^{2^0}=\mathrm{a}+\mathrm{b}).
  • Pedir: o quociente da divisão (isto é, o polinômio que multiplica o denominador para resultar no numerador).

Passo 2

Lembra da identidade básica diferença de quadrados, que é a ferramenta chave aqui:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Explicando: as duas parcelas do lado direito, multiplicadas, expandem para x^{2}-y^{2} porque os termos cruzados se cancelam. Essa identidade permite fatorar x^{2}-y^{2} em termos mais simples.

Passo 3

Vamos aplicar essa identidade ao caso geral a^{2m}-b^{2m}. Tomando x=a^{m} e y=b^{m} na identidade anterior, obtemos
a^{2m}-b^{2m}=(a^{m}-b^{m})(a^{m}+b^{m}).
Isto é, qualquer diferença de potências com expoente par pode ser escrita como produto de uma diferença com expoente menor e uma soma com expoente menor.

Passo 4

Usando o passo anterior repetidas vezes (fatoração sucessiva), fazemos a decomposição de \mathrm{a}^{128}-\mathrm{b}^{128}. Primeiro:
\mathrm{a}^{128}-\mathrm{b}^{128}=(\mathrm{a}^{64}-\mathrm{b}^{64})(\mathrm{a}^{64}+\mathrm{b}^{64}).
Agora fatoramos \mathrm{a}^{64}-\mathrm{b}^{64} do mesmo modo:
\mathrm{a}^{64}-\mathrm{b}^{64}=(\mathrm{a}^{32}-\mathrm{b}^{32})(\mathrm{a}^{32}+\mathrm{b}^{32}),
e assim por diante. Repetindo até chegar em expoente 1, obtemos a cadeia completa:
\mathrm{a}^{128}-\mathrm{b}^{128}=(\mathrm{a}-\mathrm{b})(\mathrm{a}+\mathrm{b})(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2})(\mathrm{a}^{4}+\mathrm{b}^{4})(\mathrm{a}^{8}+\mathrm{b}^{8})(\mathrm{a}^{16}+\mathrm{b}^{16})(\mathrm{a}^{32}+\mathrm{b}^{32})(\mathrm{a}^{64}+\mathrm{b}^{64}).

Passo 5

Observe atentamente a fatoração do Passo 4: o numerador é exatamente o produto de (\mathrm{a}-\mathrm{b}) por todos os fatores que aparecem no denominador listado no enunciado. Portanto o numerador é o denominador multiplicado por (\mathrm{a}-\mathrm{b}).

Passo 6

Como queremos o quociente da divisão do numerador pelo denominador, e vimos que o numerador é o denominador vezes (\mathrm{a}-\mathrm{b}), concluímos que o quociente é (\mathrm{a}-\mathrm{b}).
(Dica prática: a identity usada é válida sempre que o expoente é potência de 2; aqui 128=2^{7}.)

Resposta

\mathrm{a}-\mathrm{b}

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