Calcule a transformada de Laplace inversa das funções:
F_{2}(s)=\frac{2 s+1}{s^{2}+4 s+8}

Passo 1

O enunciado dá a função no domínio de s:
F_{2}(s)=\frac{2s+1}{s^{2}+4s+8}.
O que se pede é calcular a transformada de Laplace inversa, isto é encontrar f_{2}(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F_{2}(s)\} para t\ge 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • Numerador: 2s+1.
  • Denominador: s^{2}+4s+8.
  • A resposta deve ser uma função de t.

Passo 2

Vamos reescrever o denominador numa forma que combine com as formas padrão de transformadas inversas. Para isso usamos completar o quadrado:
s^{2}+4s+8 = (s^{2}+4s+4)+4 = (s+2)^{2}+4.
Explicando o porquê: completar o quadrado transforma um polinômio quadrático numa soma de um quadrado perfeito (s+2)^2 e uma constante, que é exatamente a forma (s+a)^2+b^2 usada nas transformadas de coseno e seno com deslocamento.

Passo 3

Observando a forma do denominador (s+2)^{2}+2^{2}, queremos escrever o numerador como combinação de termos do tipo (s+2) e constante, porque:
  • termos com (s+2) no numerador se associam a cosseno deslocado;
  • termos constantes no numerador se associam a seno deslocado (multiplicado por b).
Então escrevemos
2s+1 = A(s+2)+B
e determinamos A e B. Desenvolvendo:
A(s+2)+B = As + 2A + B.
Comparando coeficientes com 2s+1:
  • coeficiente de s: A = 2,
  • termo constante: 2A + B = 1 \Rightarrow 2\cdot 2 + B = 1 \Rightarrow B = 1-4 = -3.
Portanto
2s+1 = 2(s+2)-3.

Passo 4

Substituindo na expressão de F_{2}(s) obtemos a decomposição:
F_{2}(s)=\frac{2(s+2)-3}{(s+2)^{2}+2^{2}} =2\cdot\frac{s+2}{(s+2)^{2}+2^{2}}-3\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}+2^{2}}.
Agora vamos usar pares usuais de transformada de Laplace inversa (explico cada um):
  • A transformada de Laplace de \mathrm{e}^{-at}\cos(bt) é
\mathcal{L}\{\mathrm{e}^{-at}\cos(bt)\}=\frac{s+a}{(s+a)^{2}+b^{2}}.
Aqui a e b são constantes e t é a variável do tempo.
  • A transformada de Laplace de \mathrm{e}^{-at}\sin(bt) é
\mathcal{L}\{\mathrm{e}^{-at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.
Essas fórmulas vêm da propriedade de deslocamento na variável s: \mathcal{L}\{\mathrm{e}^{-at}f(t)\}=F(s+a), junto com as fórmulas \mathcal{L}\{\cos(bt)\}=s/(s^{2}+b^{2}) e \mathcal{L}\{\sin(bt)\}=b/(s^{2}+b^{2}).
No nosso caso a=2 e b=2, porque o denominador é (s+2)^{2}+2^{2}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo (usando linearidade) temos:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{2\cdot\frac{s+2}{(s+2)^{2}+2^{2}}\right\} =2\cdot \mathrm{e}^{-2t}\cos(2t),
pois corresponde diretamente à forma da transformada de \mathrm{e}^{-2t}\cos(2t).
Para o segundo termo, note que
\frac{1}{(s+2)^{2}+2^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{(s+2)^{2}+2^{2}},
e a parte \dfrac{2}{(s+2)^{2}+2^{2}} corresponde a \mathcal{L}\{\mathrm{e}^{-2t}\sin(2t)\}. Assim
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+2)^{2}+2^{2}}\right\} =\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-2t}\sin(2t).
Multiplicando pelo fator -3 que estava na decomposição:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-3\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}+2^{2}}\right\} =-3\cdot\frac{1}{2}\,\mathrm{e}^{-2t}\sin(2t)=-\frac{3}{2}\,\mathrm{e}^{-2t}\sin(2t).

Passo 6

Somando as contribuições dos dois termos (pela linearidade):
f_{2}(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F_{2}(s)\} =2\,\mathrm{e}^{-2t}\cos(2t)-\frac{3}{2}\,\mathrm{e}^{-2t}\sin(2t).
Podemos fatorar \mathrm{e}^{-2t} para deixar a expressão mais compacta:
f_{2}(t)=\mathrm{e}^{-2t}\!\left(2\cos(2t)-\tfrac{3}{2}\sin(2t)\right),\qquad t\ge 0.

Resposta

\displaystyle f_{2}(t)=\mathrm{e}^{-2t}\!\left(2\cos(2t)-\tfrac{3}{2}\sin(2t)\right)

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