Calcule a transformada de Laplace inversa das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função no domínio de
:
O que se pede é calcular a transformada de Laplace inversa, isto é encontrar
para
.
Informações relevantes fornecidas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - A resposta deve ser uma função de
.
Passo 2
Vamos reescrever o denominador numa forma que combine com as formas padrão de transformadas inversas. Para isso usamos completar o quadrado:
Explicando o porquê: completar o quadrado transforma um polinômio quadrático numa soma de um quadrado perfeito
e uma constante, que é exatamente a forma
usada nas transformadas de coseno e seno com deslocamento.
Passo 3
Observando a forma do denominador
, queremos escrever o numerador como combinação de termos do tipo
e constante, porque:
- termos com
no numerador se associam a cosseno deslocado; - termos constantes no numerador se associam a seno deslocado (multiplicado por
).
Então escrevemos
e determinamos
e
. Desenvolvendo:
Comparando coeficientes com
:
- coeficiente de
: , - termo constante:
.
Portanto
Passo 4
Substituindo na expressão de
obtemos a decomposição:
Agora vamos usar pares usuais de transformada de Laplace inversa (explico cada um):
- A transformada de Laplace de
é
Aqui
e
são constantes e
é a variável do tempo.
- A transformada de Laplace de
é
Essas fórmulas vêm da propriedade de deslocamento na variável
:
, junto com as fórmulas
e
.
No nosso caso
e
, porque o denominador é
.
Passo 5
Aplicando a transformada inversa termo a termo (usando linearidade) temos:
pois corresponde diretamente à forma da transformada de
.
Para o segundo termo, note que
e a parte
corresponde a
. Assim
Multiplicando pelo fator
que estava na decomposição:
Passo 6
Somando as contribuições dos dois termos (pela linearidade):
Podemos fatorar
para deixar a expressão mais compacta: